テイラー級数について

数学は、高校卒業程度のレベルです。

まったくの無知な質問ですみませんが、どなたか教えてください！！

テイラー級数とはなんですか？

「テイラー級数に展開できる」ということは、数学的にどんな意義があるのでしょうか？

限られた中でのお答えは難しいでしょうが、お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： m_ik_e 回答日時： 2007/05/15 00:27

＃３です

“無限回微分できる”
に引っかかっているようでしたら、このようにイメージしてください。

高校では
１階微分したら関数の傾きが出る。
と習うはずです。でも、グラフ上で切れてたり折れてたりした時
（例えばグラフの形が『∧』みたいなら、頂上での傾きって取れないでしょう）

そういうことが、永遠に微分しても“起こらない”と保障しなくてはいけないんです。

理由は、テイラー級数展開の方法にあります。
単に公式みたく使う方もいますが、間違いなくこれは“展開”であって
f(x)に始まり
f'　f''　f'''・・・・fのn階微分
と、無限に微分を使って作られているからです。
Σにくっついた無限大∞はその名残みたいなモンです。

だから、級数展開の式を使うには、その式が微分できなきゃ展開は出来っこないじゃないか、ということになります

No.7 回答者： banakona 回答日時： 2007/05/15 10:01

数学的とは言えないかも知れませんが、「テイラー級数に展開できる」ということは、もし、ある事象を時間ｔの関数で表すことができて、かつその関数がｔで無限回微分可能だとすれば、ある１時点（例えばｔ＝０）でのｎ階微分係数が全て分かれば、その事象の任意の時点の値が分かります。

つまり「予言ができる」ということです。
ロマンを感じませんか？　ｎが無限であることと、そんな関数を発見するのが大変ですが・・・

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

その他の皆々様、ご丁寧にありがとうございました。

まだまだ、よく分からないことが多いですが、勉強をしていきます。

また、質問するかもしれませんが、その節はお願いします。

お礼日時：2007/05/16 22:00

No.6 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2007/05/15 09:16

　まず無限回微分可能についてですが、たいていの滑らかな曲線は、無限回微分可能として扱って、概ねはうまくいきます。

そうでない滑らかな曲線にあたったら、不運です。特に馴染み深いcosx，sinx，tanx，e^x，log(1＋x)などはみな、無限回微分可能である事が知られています（logについては定義域の注意が必要ですが）。
　次に微分とは、関数を一点で直線近似（接線で近似）する事だと考えて、ほぼ正しいです。そして直線＝1次関数の特徴は、四則演算のみで計算でき、グラフを直感的に理解できる事です（比例関係だから）。
　次に出てくる発想は、ぐにゃぐにゃ曲がった曲線を折れ線近似したらどうかという事です。近似の折れ線自体は1次関数なので、簡単に計算できます。そして、折れ線の傾きは、折れ線区間の平均傾きです。
　折れ線区間を無限に細かくしたら、折れ線近似はぐにゃぐにゃ曲がった曲線に収束し、折れ線の傾きは、接線の傾き＝微分に収束すると予想できます（もちろん証明は必要ですが）。さらに折れ線は四則演算のみで計算できるので、折れ線近似の極限も四則演算のみで計算できるであろうという事になります（ただし無限級数ですが）。それがテーラー級数です。
「テーラー級数 ＝ 折れ線近似の極限」という方向で、私は納得しました。

No.5 回答者： zk43 回答日時： 2007/05/15 01:14

sinとかlogとかはそのままだと値が分かりずらいですが、テイラー展開

すると四則演算とか根号で表せるので（無限項ですが）計算ができて、
ある程度の項まで計算すれば大体の値が分かるという利点があります。
つまり、良くわからない関数を簡単な関数である多項式で近似するとい
うようなことです。

No.3 回答者： m_ik_e 回答日時： 2007/05/15 00:14

テイラー展開は関数をべき級数で考えることで、より解析等に使いやすい式に変換できます。

数学・物理学・理学工学問わず使われるので、理系の大学生はほぼ全員習うといって過言ではないほどメジャーなものです。

関数f(x)が、x=aで無限回微分可能
（↑x=aで関数が切れたり飛び飛びだったりしないって保障が必要）
なときに、f(x)はべき級数化（近似）できます
（式はURL参照）
べき級数は比較的簡単な式なので、ややこしい関数をテイラー展開して近似しちゃえば解析は楽、ということです。

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/taylor/

No.2 回答者： ringouri 回答日時： 2007/05/15 00:03

テイラー級数（テイラー展開）自体の説明は、Wikipediaにありますし、googleで検索すれば沢山出てきます。

よって省略。

「テイラー級数に展開できる」ということは、その関数が無限回微分できる、正冪級数で表現できる、などを含意しています。
冪級数で表現すると、何となく親しみが増す（分かったような気になる）し、また、数値計算しやすいような気分にしてくれる、という心理的効果があるのではないでしょうか。

歴史的には、複雑な関数の解析性の分析や多項式近似などで活用されました。

この回答へのお礼

早速のご回答、ありがとうございます。

自分でも調べてみました。しかし、「無限回微分できる」というのは、どんな利点があるのですか？

ある関数が無限回微分できると、どのようなことが起きるのですか？

勉強不足ですみません。数学をもっとしっかり勉強すれば、テイラー級数に展開できるということの意味が少しでも分かるようになりますかね？

お礼日時：2007/05/15 00:13

No.1 回答者： angrox 回答日時： 2007/05/14 23:56

私も大学の数学をやって間もないのであまりえらそうなことはいえないんですが、テイラー級数とは微分の応用の1つで三角関数や指数関数、対数関数などを多項式の和で表せるようにしたものです。

関数電卓の近似値の計算などに用いられています。テイラー級数に展開できる関数は何回でも微分できるなど特徴のある関数です。本当はもっと細かい条件があるですがこの内容(テイラー展開可能性)が参考書のほうでも後のほうに出てくるので、今の自分が分かる範囲でざっくりとしか説明できません。