無限数列

lim{(3^n)+(2^n)}/4^n
n→∞
この極限値を求める問題なんですが、
まず分母は無限大に発散、
分子も無限大に発散するのに答えが0に収束すると
なっているんですが、どうしてですか？
おねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： vigo24 回答日時： 2007/05/27 11:49

分母と分子は共に∞に発散してもその発散のスピードが違うのです。

例えばｘとx＾5では共に→∞（X→∞）になりますが、
∞に大きくなるスピードはｘ＜＜ｘ＾５となります。

この場合も∞への発散のスピードが
分子{(3^n)+(2^n)}＜＜分母4^nとなっているので、
全体として０に収束します。

分母・分子を４＾nで割ってみれば
lim(3/4)^n+(2/4)^nとなり０に収束することがよく分かると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分母分子がともに発散の場合
分母のスピードが速ければ０に
収束するのですか？
逆に分子のほうが速い場合はどうなりますか？

お礼日時：2007/05/27 12:02

No.3 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/05/27 12:14

例えば、lim[n→∞] x/xも、分子・分母ともに、無限大に発散する

にも関らず１に収束する事は言うまでもありませんね…。
lim[n→∞] x/x^2の場合も、分子・分母ともに確かに無限大に発散しますが、lim[n→∞] 1/x = 0となります。
分子が大きくなるにつれて分母は分子よりもはるかに大きくなって結果として値が小さくなるからです。
同様に、質問の件についても、
lim[n→∞][(3^n) + (2^n)} / 4^nも
lim[n→∞]{(3/4)^n + (1/2)^n}により、
０に収束する事が言えます。

ミクロレベルではどちらも増えていますが、マクロレベルで見ると
値が小さくなっているのですね。
これは、例えば、年々借金が増大していっても、収入がそれを上回って増加していけば、結果としては借金で苦しむどころか年々豊かになるという理屈と同じかもしれませんね．．。

この回答へのお礼

なるほど
よくわかりました
ありがとうございます

お礼日時：2007/05/27 12:18

No.2 回答者： vigo24 回答日時： 2007/05/27 12:07

分子の方が速い場合は∞に発散します。

この回答へのお礼

わかりました
ありがとうございます

お礼日時：2007/05/27 12:17