No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
曲率半径の円の中心(X,Y)の軌跡を求めて見ました。
27X^2=16a{Y-1/(2a)}^3
なお、曲線上の点(t,at^2)に対する曲率円の中心(X,Y)は
X=-4a^2t^3,Y=3at^2+{1/(2a)}
となります。
A#3でも触れたように曲率円の中心は放物線の原点における曲率円の中心(0,1/(2a))以外はY軸上に存在しませんね。
No.3
- 回答日時:
>放物線y=ax^2上の原点以外の点で、曲率の中心がy軸上にあるようなものが
>存在するための条件を求めよ。
やってみましたが存在する条件はありませんね。
曲率半径の円の中心が接点に対してy軸の反対側にあるということです。
y軸上に円の中心がある条件で式を立てると接点の座標(t,at^2)はt=0(原点で放物線に接する円)以外実数tは残念ながら存在しません。(すべて虚根になる)
【参考】
tの方程式は以下のようになり
a^2t^2(1+2a^2t^2)(1+4a^2t^2)=0
これを満たすt≠0の実数が存在しませんね。
つまり曲率半径が大きくて円の中心はy軸を超えた接点と反対側にあるということですね。
No.2
- 回答日時:
私も公式は忘れたので本を見ると、直交座標(x,y)での曲率は
y’’/(1+(y’)^2)^(3/2)
とあります。
(曲率の定義から計算してもたぶん簡単に出るでしょう。)
曲率半径は曲率の絶対値の逆数です。
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