誤差の限界

以前はテイラー展開で教えていただいたのですが、複雑すぎて私には難しかったので、再投稿します。

√(100+x)の近似値として10+x/20をとることができる。
誤差の限界を調べよ。

テイラー展開を使う方法以外にありましたらお願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/22 17:46

またお会いしました。

（笑）

ｘの範囲は、０＜ｘ＜ｔ　でしたよね？

まずは、復習のため、
前回提示した、テイラー展開でない方法を再掲します。

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１００＋ｘ　＝　１００（１ ＋ ｘ／１００）

ここで、１ ＋ ｘ／１００　は、
１＋ｘ／１００　＝　（１ ＋ ｘ／２００）^2　－　ｘ^2／４００００
なので、ｘ^2／４００００　が十分小さければ、
１＋ｘ／１００　≒　（１ ＋ ｘ／２００）^2
よって
１００＋ｘ　≒　１００（１ ＋ ｘ／２００）^2
　＝　（１０ ＋ ｘ／２０）^2
よって、
√（１００ ＋ ｘ）　≒　１０ ＋ ｘ／２０

上記の計算途中に現れた
「ｘ^2／４００００　が十分小さければ」
のところが、題意ですね。

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以上で復習終わり。

Ａ＝（１ ＋ ｘ／２００）^2
と置いて

近似前÷１００は、　√（Ａ　－　ｘ^2／４００００）

近似後÷１００は、　√Ａ

両者の比は、
近似前／近似後　＝　√｛（Ａ　－　ｘ^2／４００００）／Ａ｝
　＝　√（１－ｘ^2／４００００Ａ）
　＝　√｛１^2 － ｘ^2／｛４００００（１＋ｘ／２００）^2 ｝
　＝　√｛１ － ｘ^2／（２００＋ｘ）^2｝
　＝　｛１ － ｘ^2／（２００＋ｘ）^2｝^(1/2)
　≒　１　－　１／２・ｘ^2／（２００＋ｘ）^2
　＝　１　－　１／２・１／（２００／ｘ ＋１）^2

１／２・１／（２００／ｘ ＋１）^2　の部分が誤差（１に対する比）なので、
｜ｘ｜が大きいほど誤差が大きい、ということを示しています。

０＜ｘ＜１　ですから、ｘの最大値は、せいぜい約１。
ｘ＝１を代入すると
誤差（１に対する比）　＜　１／２・１／（２００／ｘ ＋１）^2
　＝　１／２・１／（２００ ＋１）^2
　＝　0.0000124　（＝0.00124％）


＃２さんのご回答と一桁違いますが、
私の回答は誤差の比、＃２さんのご回答は実際の値、でのそれぞれの誤差だからです。
√(100+x)　は、約１０ですから。

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/22 12:35

>√(100+x)の近似値として10+x/20をとることができる。

誤差の限界を調べよ。

√(100+x) = a とし、10+x/20 = b としましょう。近似誤差(e)は e =b-a になります。

　b^2-a^2 = 100+x+(x^2/400) - (100+x) =(x^2/400) = (b-a)(b+a) = e*(b+a)
つまり、
　e = (x^2/400)/(b+a)
で誤差評価できます。

b≒a の場合なら、
　e≒(x^2/400)/2a =x^2/(800a)
誤差率なら、
　e/a = x^2/(800*a^2)

たとえば x=10 のとき、
　b = 10+0.5 =10.5
　e≒(100/400)/20≒0.012
　e/a≒(100/400)/200≒0.0012
という概算。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/22 12:31

　まず、前回と同じ条件（０＜ｘ＜１）ですよね。

　テイラー展開を使わないのでしたら、単純に、元の式と近似式との差の絶対値が最大になるところ探して、これで押さえてはいかがですか？
　この差の関数をｈ（ｘ）とでもおきますと、
　　h(x)＝√(100+x)－(10+x/20)
　　h(0)＝０、h(1)＝-1.24*10^(-4)
となります。ここで、h(x)の変化の傾向を見るため、微分を取りますと、
　　h'(x)＝(1/2){1/√(100+x)-1/10}
となりますが、０＜ｘ＜１の範囲では、h'(x)は負になるので、h(x)は０＜ｘ＜１で単調減少関数だと分かります。
　さて、h(0)＝０でしたので、差の絶対値|h(x)|を考えますと、０＜ｘ＜１で単調増加になり、|h(1)|が上限になりますので、
　　|h(x)| ＜ |h(1)| ＝ 1.24*10^(-4)
の不等式が成り立ちます。
　|h(x)| は元の式と近似式との差の絶対値ですので、これが誤差そのものですから、誤差の限界は、1.24*10^(-4)　となることが分かります。（前回よりも1桁よい値ですね。）


　ちなみに、前回の剰余項の上界の押さえ方は緩めでしたので、一般に数値計算で使われるラグランジュの剰余項を用いて、誤差の限界の計算を書き添えておきたいと思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99% …

　ここでは、２次の項で打ち切りましたので、元の式をf(x)とおくと、剰余項は Ｒ_2 となり、次のように表されます。
　　f(x)＝√(100+x)
　　f'(x)＝(1/2)・1/√(100+x)
　　f''(x)＝(-1/4)・1/(100+x)^(3/2)

　　Ｒ_2＝(1/2!)・f''(0+θx)・x^2
　　　　＝(-1/8)・x^2/(100+x)^(3/2)
　∴|Ｒ_2|＝(1/8)・x^2/(100+x)^(3/2)
　ここで、g(x)＝x^2/(100+x)^(3/2)　とおきますと、
　　g'(x)＝x(x+400)/{ 2(100+x)^(5/2) }
となり、０＜ｘ＜１の範囲で g'(x) は常に正ですから、この範囲でg(x)は単調増加することが分かります。
　したがって、|Ｒ_2|＝g(x)/8ですから、|Ｒ_2|も０＜ｘ＜１で単調増加することになり、上限が g(1)/8 ということになります。
　そこで、これを計算すると、
　　|Ｒ_2| ＜ g(1)/8 ＝ (1/8)・1^2/(100+1)^(3/2)＝1.23*10^(-4)
となり、これが誤差の限界ということになります。
　ちなみに、この値は、前半のテイラー展開を使わなかった誤差の評価とほぼ同じ値で、前半の方法でも十分に精度の良い誤差の評価ができたことがわかります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/06/22 12:15

誤差ってのは「近似値 - 真値」の絶対値なんだから, その最大値を評価すればいいだけ.