誤差

差の2乗和の平均が誤差になると言われました。
なぜそうなるのか良くわかりません。
なぜそうなるのか教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 差の2乗和の平均が誤差評価値の1つで他にも誤差の評価値があることはわかりました。
  なぜ差を2乗したものの合計の平均をとったものが誤差になるのかが知りたいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/06 20:08

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/07 16:24

通常、「誤差」といえば、全部の計測値 xi (i=1～N) の平均値 xbar を求め、

　　xbar = Σ(i=1~N)xi / N
各計測値と平均値の差（偏差）を二乗し
　　( xi - xbar )^2
これを計測値全部で足し合わせ、
　　R = Σ(i=1~N)( xi - xbar )^2
計測値の個数で割って
　　S^2 = Σ(i=1~N)( xi - xbar )^2 / N
この平方根をとって
　　S = √[ Σ(i=1~N)( xi - xbar )^2 / N ]
これを「誤差」と呼ぶのが普通です。

　これを、統計では「標準偏差」と呼びます。（正確には、ランダムに発生する事象が従う「正規分布」の「標準偏差」）

　ちなみに、平方根をとる前の「S^2」を「分散」と呼びますが、これは見て分かるとおり、ディメンジョンとして「測定値の2乗」になりますので、元の計測値と「単位」が一致しません。単位を一致させて
　　xbar ± S
として「誤差」を表わすには、平方根をとった「標準偏差」にする必要があります。

　「何故これを誤差と呼ぶのか」と言われれば、「それを誤差と呼ぶようにした」というのが答えでしょう。
　「誤差」は、「統計的には、標準的にこの程度はバラつく」という値であって、「必ずこの範囲に入る」（＝許容値）というものではありませんから。
　「標準偏差」というのは、下記のサイトなどを見れば分かるとおり、「計測値全体の68％はこの範囲内に入る（はず）」という統計上の数値です。標準偏差の2倍の範囲内
　　xbar ± 2S
には、統計的に計測値全体の95％が入ります。
http://www.cap.or.jp/~toukei/kandokoro/html/14/1 …

↓　参考：正規分布
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F …

No.2 回答者： kangaeru2 回答日時： 2016/02/07 12:05

>差の2乗和の平均が誤差になる

これが、少しおかしい。

各測定（実験）値から、全測定値の算術平均値を引いた値（差）の二乗の和を測定の回数で割ったものの平方根を、二乗平均誤差という。
つまり、そのような誤差をまず定義したということ。
これが、No.１さんのいうところの誤差評価値の1つのRMSE(root mean squared error)である。

余談ではあるが、各測定値の分布が正規分布（Gaussian）である場合、すなわち、各測定（実験）がそれぞれ確率でいうところの独立試行のときには、各測定値は真値のまわりにある程度の広がりを持ったランダムな誤差を含んで分布しており、その場合、RMSEは正規分布の標準偏差と同じ形の式になることが数学的に証明できる。
いろいろなことが同時に起きる確率は、それぞれが起きる確率の積になる。
また、各測定値が同時に起きる確率が最大になるようなときの算術平均値が真値に最も近いという考えが裏にある。

かなり難しい問題であり、詳細説明は省略するが、多くの人が無条件に受け入れてしまうのに、”なぜそうなるのか良くわかりません。”　と疑問を持ったことには、感心しました。
頑張って勉強してください。

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2016/02/06 19:58

それは平均二乗誤差(MSE; mean squared error)と呼ばれる誤差評価値の1つですね。

これの平方根であるRMSE(root mean squared error)もありますし、それ以外の評価値もあります。
MSEやRMSEを使うのは、これらが分散や標準偏差と同じ形式なので統計的に処理しやすいからでしょう。