測定したデータの誤差を計算する方法

Question

集めたデータのばらつきを求めるときに使う計算法として、標準偏差がありますが、「誤差=平均値±標準偏差」と考えていいのでしょうか？
ほかに標準誤差というのがあるようなのですが、説明を読んでも何を意味している誤差なのか理解できません。
ちなみに、データは以下の通りです。

データ数：60
最高値：39.00
最低値：11.00
平均値：22.56
標準偏差：5.261
標準誤差：0.679（5.261/√60）
標準偏差を誤差と考えると22.56±5.261で、総データの70.0%が含まれます。
標準誤差を誤差と考えると22.56±0.679で、総データの10.0%が含まれます。

回答よろしくお願いします。

masudaya · Accepted Answer

ここで言う標準誤差は,平均値の確度を表す指標です.
(私自身は標準誤差という名称は初めてですが...)
なので母集団の平均の推定値は算出した平均値±α*標準誤差
(αは推定値の信頼度によって変化します.詳しくは
統計の教科書のt-分布のあたりをご覧下さい)

あと質問者さんは誤差を求めたいようですが,誤差の定義は
誤差=測定値-真値
であり,一般に真値は分からないので誤差は分からないことになります.
また何の誤差をお知りになりたいのかも不明です.上のデータが何をあらわしてるのかは不明ですが,
同一のものを60回測定した結果であれば,母集団の平均の推定値がほぼ真値を表しますので,誤差は,ほぼ標準偏差と考えることができるように思います.
一方60個の別のものを測定したとすれば,母集団の平均の推定値は母集団の平均値であり,標準偏差は60個のものの分布を表していることとなり,誤差という話はあまり出てきません.(無理に言えば,製造の誤差と言えなくもありませんが)

Ishiwara · Answer

＃３です。
「バラツキを小さくしたい」というのは、だれでも願うことで、技術者が統計学を学ぶのは、ほとんどこのためです。最も良い道具は「実験計画法」と「分散分析」と言えるでしょう。

前者は、「例えば温度と原材料を変えてみるとどうなるか調べたい」ときに「少ない実験回数で多くの情報を得るにはどうするか」を研究することであり、後者は、得られたデータから「果たして効果があったのかどうか」を判定する手段です。どちらも、専門書でかなりの勉強が必要です。

age_momo · Answer

質問文を読んでも質問者さんが何を求めたいのか今一、
はっきりしないので統計の話をしておきます。
まず、誤差とバラツキは違います。
『データがばらついている。』=『誤差がある』
と、考えられているのではないでしょうか。

コイン1万枚を投げて、表が何枚あるか正確に予想しなさい。
と、言われたら、大体5000枚だと思うけど、正確には
予想できるわけがない。と思いませんか？
実際、本当に5000枚である確率は0.8%ぐらいで枚数を正確に当てるのは
至難の業です。
この例の場合の誤差は数え間違いなどが考えられますが、それは
バラツキとは無関係です。ばらついて当然と考えれば、どれぐらい
ばらつくか計算できます。それが標準偏差です。
上の例では(表、裏の確率が正確に1/2ずつであれば)標準偏差は50になります。
100回同じことを繰り返せば4950枚から5050枚までである回数が
70回ぐらい観察されると予想されます。

次に標準誤差ですが、理論値が分からないとして上の実験を繰り返したとします。
バラツキのあるデータの平均を取ったのですから本当の平均値と等しいとは
限りません。100回繰り返して平均が5010枚だったということも可能です。
そのときは『平均5010である』と結論をつけることになりますが、
本当の平均とは違う可能性があります。それが標準誤差です。

質問者さんのデータで言うと、バラツキのあるデータをとったなら
そのバラツキ(標準偏差)は5.261です。他の回答者さんも
書いておられますが、データを増やしていっても大体67％ぐらいの
データがこの範囲に収まります。
また、平均は22.56というデータですが、真の平均値との誤差は
±1.358ぐらいある可能性があります。(もっと離れている可能性も5%ほどある)

Ishiwara · Answer

標準偏差とは、
（（（（各データの値）と（平均値）との差）の２乗）の平均値）の平方根です。
データの裾野の広がりを客観的な数字にしたものです。

いろいろな使い方をされるので、
(1) ひと組の有限個のサンプル同士のバラツキを指すのか、
(2) 母集団（無限個のサンプルと考えてもよい）のバラツキなのか、それとも、
(3) 複数のサンプル集団の間で、各集団の平均値を１つのデータと考え、それらの間のバラツキを指すのか、それともさらに、
(4) 実際値なのか推定値なのか、などを
しっかり定義してかからないと失敗します。

標準誤差は、定義がどうも不安定なので、私はこの語を使わないようにしています。ウィキペディアによれば、抜き取り数を決めてサンプリングを何度もしたとき、そのつどのサンプル平均のバラツキ（上記の(3)の推定値）だそうで、あなたの提示した定義と違います。２シグマとかいう値は、実用上の意味はあるかもしれませんが、学問上の意味は希薄です。

kgu-2 · Answer

誤差は、No1の方が書かれているように、誤差=測定値－真値です。真値は、「これが標準」というものを決め、それとの差です。有名なものは、メートル原器で、長さはこれを標準にします。一秒、原子1g、照度1ルクスなどは決められています。また、年代が進むにつれ、国際的な話し合いによつて、より精密なものに厳密に決定されています(ほんの少しの少しの少しの・・・差しかないのですが)。
　90cmの物差しなのに、誤って100cmの目盛りをつけ、この物差しで何度測定しようと、真値はでません。
　標準品は、公共機関などが決め、販売したりします。化学薬品だと、試薬の会社が、標準品として販売しています。重量だと、1円硬貨は1.000gというのは有名です。
　
　標準偏差は、測定値のバラツキを示します。同じように時計を作っても、進みがちなものも、遅れがちなものもあります。その個々のデータのバラツキを表すのが標準偏差です。ちなみに、バラツキの大小の比較は、変動係数を用います。
　標準誤差は、別々サンプルを選んで測定して平均した場合、その平均値のバラツキを表します。

>標準偏差を誤差と考えると22.56±5.261で、総データの70.0%が含まれます。
 これは、正規分布から有名で、理論的には(データ数が無限大だと)68.3%になります。「データは正規分布をしている」と主張されても、異論はでないでしょう。

測定したデータの誤差を計算する方法

ここで言う標準誤差は,平均値の確度を表す指標です.

この回答への補足

＃３です。

質問文を読んでも質問者さんが何を求めたいのか今一、

標準偏差とは、

この回答への補足

誤差は、No1の方が書かれているように、誤差=測定値－真値です。

この回答への補足

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