No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
もし 0≦x≦y なら、0≦tのすべてに対して、x^t≦y^tはいつも成り立つので、
A={t: 0≦t≦1}
になり、両端の≦に=が含まれるので閉集合ですよね。
もし 0≦y≦x なら、0<t≦1で x^t≦y^tは不成立で、t=0のときにはいつも 1=x^0≦y^0=1となり、=によって、成立するので、
A={t: t=0}={0}
になり、これも閉集合ですね。
もし x<0≦y なら、負の数に対する x^t(0<t<1)は複素数になるので、不等式を考えることができず、一方 t=0とt=1については、x^0=1=y^0, x^1=x≦y=y^1が成立するので、
A={t: t=0または1}={0,1}
になり、閉集合になります。
もし y<0≦x なら、0<t<1 については同様に不等式を考えることはできず、t=0については等号が成立し、t=1についてはx^1>y^1となりx^t≦y^t が不成立なので、
A={t: t=0} = {0}
で閉集合です。
もし、x≦y<0 のときには、0<t<1で不成立、t=0とt=1で成立なので、
A={t: t=0または1}={0,1}
で閉集合。
もし、x<y<0 のときには、t=0でのみ成立なので、
A={t: t=0} = {0}
で閉集合です。
以上、すべての場合に閉集合になります。
ミスがありましたらすみません。
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