実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。
という命題を証明したいのですが滞ってます。
凸集合の定義は
「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について,
sx+(1-s)y∈S
が成立するとき,Sは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」
(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
すみません,Aの定義に
-π/2 ≦ x ≦ π/2
を入れ忘れました.つまり,
A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}
放物線みたいなのが一つあるだけです.
No.5
- 回答日時:
こんにちは
hhozumiさんの閉集合の定義は閉区間の定義であって,閉集合はもっと大きな集合系に関するものですね.
閉集合に関してはkoko uさんのNo4をご参照ください.
以下では
>(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
>C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C
を用いることにします.
(1) n=2の反例を作ってみます:
A = {(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}
B = {(x,y)∈R^2 | x=0, y ≦ 0}
は両者とも閉凸集合ですが,A+Bはちょっと考えると
A+B = {(x,y)∈R^2 | -1 < x < 1}
となって,これは閉集合ではないですね.
(2) R^nの場合,コンパクト集合は点列コンパクト性と等価になります.つまり,
『V⊆R^nがコンパクト集合である』⇔『Vの任意の点列 x_n ∈ Vは,Vの中で収束する部分列 x_{n_k}→ x ∈Vを持つ』
というものです.これを利用して(2)を以下のように証明できます:
[証明]
AをR^nのコンパクトな閉凸集合,BをR^nの閉凸集合とする.
A+Bが閉集合であることを示すには,A+Bの任意の収束列 z_n がA+Bの中に収束することを示せばよい.
(つまり,任意の z_n ∈ A+B → z ∈R^n に対し, z ∈ A+Bであることを示す.)
A+Bの任意の収束列をz_n ∈ A+B とし,収束先をz ∈ R^nとするとき,z_n ∈ A+Bより,x_n ∈ A, y_n ∈ Bが存在して,
z_n = x_n + y_n とかける.
Aはコンパクト集合であるため,(点列コンパクト性より)A内に収束する部分列 x_{n_k}が存在する:
x_{n_k}→x ∈ Aとする.
また,z_nが収束列であるため,z_{n_k}も収束列であり,zに収束する.よって,
y_{n_k} = z_{n_k} - x_{n_k} → z - x
となり,y_{n_k}も z-xへ収束することがわかる.
ここで,y_{n_k}∈Bであり,Bは閉集合であることを考慮すると,z-x∈Bとなる.
x∈A, z-x∈ Bより,z = x + (z-x) ∈ A+B
であることを得る.
Q.E.D
ちょっと急いでつくってみたので,わかりずらいかもしれません.また聞いてくださいね.
(特に(1)の反例はもっと簡単につくれるかもしれません)
大変有難うございます。
> (1) n=2の反例を作ってみます:
>
> A = {(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}
> B = {(x,y)∈R^2 | x=0, y ≦ 0}
> は両者とも閉凸集合ですが,
{(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}は放物線っぽいのがx軸上にずらっと並んだような領域を表しますね。
その場合、(0,0),(π,0)を結ぶ線分は領域Aには含まれませんよね。
、、、と言う事でAは非凸集合だと思うのですが?
No.4
- 回答日時:
>言葉で"全て境界点もそれ自身に含まれる集合"と
>表現せざる得ないのでしょうか?
「境界」の定義が難しいので却下。
とりあえず、hhozumi さんが位相空間の基礎すらあやふやだということがわかりました。
無駄と知りつつもアドバイスすると、R^n のような距離空間の場合、おおよそ 2つの流儀があります。
(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C
(2)開集合に基づく定義(こっちは位相空間の一般論)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ R^n\C ⊆ R^n が開集合
U ⊆ R^n が開集合 ⇔ すべての u ∈ U に対して、ある ε > 0 が存在して、|u - v| < ε ならば v ∈ U とできる
No.3
- 回答日時:
>違いますかね。
違いますな。
例えば n = 2 の平面で考えてみると、hhozumi さんの言う閉集合とは
{[a, b]×[c, d] | a, b, c, d ∈ R } つまり「四角形」ばかりですね。
> {[a, b]×[c, d] | a, b, c, d ∈ R } つまり「四角形」ばかりですね。
そうですね。
そうしますと、R^nのどのような元が閉集合だと定義されるのでしょうか?
言葉で"全て境界点もそれ自身に含まれる集合"と表現せざる得ないのでしょうか?
数式で表現できないのでしょうか?
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