No.2ベストアンサー
- 回答日時:
対偶を使えばいいでしょ。
つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。(**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。
で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。
詳細なご説明有難うございます。
> です。質問者さん流に書けば
> 0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
> とでもなりますか。
否定は
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;偽=[|a_k-1|<ε]…~(**)
じゃないですかね。これを書き換えると
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;偽=[-ε<a_k-1∧a_k-1<ε]…~(**)
だから
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;真=[(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε]…~(**)
つまり、
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε…~(**)
と思うのですが、、、勘違いしてますでしょうか??
No.4
- 回答日時:
ANo.2へのコメントについてです。
> 0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε…~(**)
>と思うのですが、、、勘違いしてますでしょうか??
はい、勘違いです。
(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦εってところは|a_k-1|<εの否定になってなくちゃいけないでしょ?でも、例えばε=2, (a_k-1)=-1としてみると、|a_k-1|<εは真で(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦εも真。否定になってません。
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