A 回答 (6件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.6
- 回答日時:
平均値の定理
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(ξ)
[2点(a,f(a)),(b,f(b))を結ぶ直線の傾き]=[x=ξ における接線の傾き]
コーシーの定理
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(ξ)/g'(ξ)
[2点(g(a),f(a)),(g(b),f(b))を結ぶ直線の傾き]=[t=ξ における接線の傾き]
曲線 (x,y)=(g(t),f(t)) について dy/dx=f'(t)/g'(t)
No.5
- 回答日時:
>AがBの特殊な場合、BをAの「拡張」と言います。
「Aを拡張してBが出てきた」という意味ではありません。「Aを拡張してBが出てきた」という意味であって欲しいんですが、現実には#4さん、言い当て妙ですね。その通りだと思います。
質問者さん、#1さんのやり方がたぶん最も正当なものです。ニュートンもこうやって、テーラーの公式(と等価なもの)にたどり着いたらしいです。
>その公式自体何処から沸いて出たのか?
気持ち、わかります!。というわけで、あんまり正当じゃない説明です。以下では、hは十分小さく、~はほとんど等しいと読んで下さい。f^nはfのn階微分,h^nはhのn乗です。
f(x+h)~f^1(x)・h+f(x)
が成り立ちます。そこでf(x+nh)を考えると、
f(x+nh)~f^1(x+(n-1)h)・h+f(x+(n-1)h)
となり、f(x+(n-1)h)とf^1(x+nh)に同じ考えを適用すれば、
f(x+nh)~f^1(x+(n-1)h)・h+f(x+(n-1)h)
~(f^2(x+(n-2)h)・h+f^1(x+(n-2)h))・h+f^1(x+(n-2)h)・h+f(x+(n-2)h)
~f^2(x+(n-2)h)・h^2+2・f^1(x+(n-2)h))・h+f(x+(n-2)h)
となって、以下どこまでも続けて、いつかは、
f(x+nh)~ΣnCk・f^k(x)・h^k
が得られます。上記Σはkについての和,k=0~n,nCkはコンビネーションです。これは後退差分の公式として知られていますが、意味は、x+(n-k)hで傾きf^1(x+(n-k)h)の接線を引き、区間[x+(n-k-1)h,x+(n-k)h]で直線近似して、それらをつなげたのと同じ意味です(ちょっと変形すれば、すぐわかります)。
いまy=nh,h=y/nとすれば、fを[x,x+y]の範囲でn等分割して、折れ線近似したのと同じです。折れ線近似は、分割幅h→0(n→∞)の極限で、もとの関数fに一致するはずです。代入すれば(n^kはnのk乗です)、
f(x+y)~ΣnCk/n^k・f^k(x)・y^k
ですが、n→∞をとる時、Σとlimの順序交換などいっさい気にせず、各項ごとに極限をとってしまうと、
f(x+y)=limΣf^k(x)/k!・y^k
となり、なんとテーラー級数という事になります。上記のlimは、k→∞です。というわけで、テーラー級数は折れ線近似の極限だった!、というのが私の意見です。
ところで、
f(x+h)~f^1(x)・h+f(x) (1)
を正当化するのは、明らかに平均値の定理、
f(x+h0)=f^1(x+h1)・h0+f(x),|h1|<|h0|
です。(1)を繰り返し適用する事で折れ線近似が得られるのだから、平均値の定理を繰り返し適用すれば、テーラーの定理になるんじゃないか?、と思えてきます。じつは出来ます。それにはコーシーの平均値定理が便利です。
コーシーの平均値定理は、ふつうの平均値定理を、(x,y)=(g(t),f(t))とパラメータ表示しただけと考えても、間違いではありません(有名な掛合先生の微積分の本にも載ってます)。
(f(t+h0)-f(t))/(g(t+h0)-g(t))=f^1(t+h1)/g^1(t+h1),|h1|<|h0| (2)
(2)を、
(f(x+h)-Σf^k(x)/k!・h^k)/((x+h)^n-x^n)
に繰り返し適用すると、テーラーの定理が得られます(やれば、すぐわかります)。この過程で副産物、
|h0|>|h1|>|h2|>・・・(下に有界な減少列なので収束する)
が得られるのですが、超頑張れば、hn→0も証明できます。
回答ありがとうございます。
読んでいて、すごいと感動しました。テーラー級数はまだ勉強してないのですがそのような解釈があったんですね。
No.4
- 回答日時:
A が B の特殊な場合、B を A の 「拡張」 と言います。
「A を 拡張 して B が 出てきた」という意味ではありません。
No.3
- 回答日時:
Cauchy の平均値の定理の証明は, 流れそのものは Lagrange の平均値の定理と同じです. つまり,
F(x) = [f(x) - f(a)] - {[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]} [g(x) - g(a)]
とおきます. 明らかに F(a) = F(b) = 0 ですから, a と b の間の c で
F'(c) = 0
となるものが存在します. つまり f'(c) - {[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]} g'(c) = 0 なので Cauchy の平均値の定理が得られます. もちろん, g(x) = x とおけば Lagrange の平均値の定理です.
回答ありがとうございます。
証明はどの教科書にも載っていて理解できるのですが、その作った公式を使って証明しているので作り方が気になります。
No.2
- 回答日時:
たぶん,微分の公式 (x^n)'=nx^{n-1} を理解し切れてないのでしょう.
この公式の一つの側面に,階乗を誘導するということがあります.
よって,積分すると「階乗分の1」が現われます.
これを考えにいれると,Taylorの公式は,微分・積分の演算と
極めて自然にかみ合ってる。。
というか,これ以外の式はありえません.
例えば,f'(x)に対して,平均値の定理を使うと
f'(x)=f'(a)+f''(c)(x-a)
これをx->aで定積分すれば
f(x)-f(a) = f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
今度は,このf(x)をf'(x)だと思えば
f'(x) = f'(a) + f''(a) (x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
これを定積分すれば
f(x)-f(a) = f'(a)(x-a) + f''(x)/2 (x-a)^2 + f''(c)/3! (x-a)^3
以下同様です.
つまり,平均値の定理をスタートにして,
入れ替えと積分を繰り返すことで
Taylorの公式の形をひっぱりだすことができます.
ただ,これだと回りくどいので,
公式の形を一気に証明するのです.
この方針で証明することも可能ですが,
エレガントとはいえないし,
そもそも微分の定理で積分を使うというのは
あんまり好まれません
(「微分のことは微分でする」という冗談があります).
教科書だったら積分はもっとあとででてくるものだからアウトです.
コーシーの平均値定理は,No.1さんのおっしゃる通り.
分母の関数を一般のものにしたというだけです.
関数の比や商を考えるということからみれば自然です.
過程も何も・・・関数の比をとったということです.
比のとり方がトリックですが,
(ラグランジュの)平均値の定理を念頭におけば
この比のとり方がでてくるのでしょう
分かりやすく教えていただきありがとうございます。
疑問に思っていた部分がほとんどなくなりました。まだ少し気になる点があるのですが、そこはもう少し考えて見ます。
No.1
- 回答日時:
3つを見比べればわかるんじゃないの?
とそっけなくしてもいいんだけどまあここは親切に:
面倒な条件は全部略. それなりに判断してください.
普通の平均値の定理は
[f(a) - f(b)]/(a-b) = f'(c) (a < c < b)
なんだけど, これは (b = a+h とみなして) 書換えると
f(a+h) = f(a) + f'(a+th) h (0 < t < 1)
です. で, Taylor の定理は
f(a+h) = f(a) + f'(a) h + f''(a) h^2/2! + ... + f^(n)(a) h^n/n! + f^(n+1)(a+th)h^(n+1)/(n+1)! (0 < t < 1)
だから, 「平均値の定理を高階に拡張したもの」とみなせます.
あと, Cauchy の平均値の定理は
[f(a) - f(b)]/[g(a) - g(b)] = f'(c)/g'(c) (a < c < b)
だから「分母の関数を g(x) = x 以外に拡張したもの」ですね.
Cauchy の平均値の定理は, 普通の平均値の定理とほぼ同様に導出できたはず.
>[f(a) - f(b)]/(a-b) = f'(c) (a < c < b)
からいきなり
>f(a+h) = f(a) + f'(a) h + f''(a) h^2/2! + ... + f^(n)(a) h^n/n! + f^(n+1)(a+th)h^(n+1)/(n+1)! (0 < t < 1)
の式に行く過程が分かりません。コーシーの平均値の定理もいきなり例の式に行く、その過程が知りたいです。図書館で調べても本に載っていませんでした。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、 5 2022/12/28 18:02
- 統計学 t値の計算方法 1 2022/11/29 18:37
- 大学受験 推薦入試について教えていただきたいことがあります。 私は、この春高校三年生になります。進路について考 1 2022/04/05 02:04
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 数学 数学の公式の実践的な使い方を教えてくれるサイトや参考書はありますか? 例えば相加平均と相乗平均は最小 3 2023/06/28 20:24
- 数学 【 数I 分散 】 3 2023/02/26 21:55
- 高校受験 夏休み、本気で勉強を頑張りたい 2 2022/07/03 16:33
- 大学受験 新高一の者です。僕は今、旅客機の操縦士を目指しており、大学は航空専攻(正式名称が長いので省略させてい 2 2022/04/06 00:03
- 大学・短大 大学 統計学 1 2022/09/14 11:27
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
微分とは何か(2)
-
y=e^x^x 微分 問題
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
lim[x→0](e^x - e^-x)/x
-
これらの数式を声に出して読む...
-
3階微分って何がわかるの??
-
log(1+x)の微分
-
授業で「yをxで微分する」とい...
-
arctanの微分について質問させ...
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
サイン二乗xの微分を教えてく...
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
sinx^2の微分って2xcosx^2であ...
-
d^2y/dx^2は何と読めばいいので...
-
z = x^y の偏微分
-
y^2をxについて微分してください
-
y=1/(2x-1)を微分する方法につ...
-
なぜ微分したら円の面積が円周...
-
一次導関数とは?
-
e^sinxの微分
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
これについて質問です。微分を...
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
高校数学が日常で役立つ場面を...
-
3階微分って何がわかるの??
-
授業で「yをxで微分する」とい...
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
微分について
-
y=log(logx)の微分について
-
これらの数式を声に出して読む...
-
なぜ微分したら円の面積が円周...
-
微分積分を理解できない人って...
-
位置を微分したら速度?
-
微分積分って何?
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
二次関数 y=x^2 を微分すると---
-
dxやdyの本当の意味は?
-
微分積分を習わずに大学に入っ...
-
y^2をxについて微分してください
-
log(1+x)の微分
-
数学の微分の範囲で 増減を調べ...
おすすめ情報