2点を通る直線とある点からの直交点

　2点(x1,y1),(x2,y2)を通る直線と、別のある点(x3,y3)からこの直線に向かって引いた垂線との交点を求める式を教えてください。自分で方程式を解いて求めることも可能ですが、よく使われている簡略化された公式があるのかどうか知りたいと思っています。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/02/19 18:57

>簡略化された公式

何でもかんでも、公式にしてしまっては、覚える方も大変でしょうね。

P1：(x1,y1),P2：(x2,y2)を通る直線と、別のある点P3:(x3,y3)から
この直線に向かって引いた垂線との交点をP：(x,y)とする。

“PのP1に対する相対座標”を“P2のP1に対する相対座標”
で表すと比較的簡潔な表現になることは、想像つきますね。

(1)点Pは線分P1P2上にあるから、
(P1P↑)=α(P1P2↑)［“↑”をベクトルの記号とみて下さい］…(a)

(2)線分PP3と線分P1P2は直交するから、
(P1P2↑)(PP3↑)=0［左の記号を内積とみて下さい］
従って、
(P1P2↑)(P1P↑)=(P1P2↑)(P1P3↑)…(b)

(以下回答)
(a)を(b)に代入して、
α=(P1P2↑)(P1P3↑)/|P1P2↑|^2…(c)
(c)を(a)に代入して、

■(P1P↑)={(P1P2↑)(P1P3↑)/|P1P2↑|^2}(P1P2↑)…答え

右辺は、(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)で記述されている。
この方法で計算ミスをする人は、いないでしょう。

この回答へのお礼

　有難うございます。この式で計算してみます。

お礼日時：2008/02/20 00:40

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/19 16:11

結論から言うと、傾きがＡの直線の垂線の傾きは、－１／Ａ　です。

さらに、垂線が通る点の座標を一つ与えてやれば、当然、垂線の方程式が求まります。

2点(x1,y1),(x2,y2)を通る直線の傾きは
(y2-y1)/(x2-x1)
であり、直線の方向を表すベクトルは、
(y2-y1, x2-x1)　＝　ａ→
と書くことができます。

垂線の方向を表すベクトルを
ｂ→　＝　（ｍ、ｎ）
と表すことにします。
ａ→とｂ→は垂直なので、両者の内積はゼロになります。

ａ→・ｂ→　＝　m(x2-x1) ＋ n(y2-y1)　＝　０
よって、
ｎ／ｍ　＝　－(x2-x1)/(y2-y1)
これが垂線の傾きになります。
（この回答文の冒頭に書いたとおりになりましたよね？）

あとは、x1,x2,x3,y1,y2,y3 を代入すればよいです。