「２分の１ではない」解説

「直観」の罠に陥るな！、と言うネット記事を読みました。

「ある人に子供が２人いることがわかっている。そのうち、少なくとも１人は男の子だということがわかった。もう１人が女の子である可能性は1/2？」

答えは×です。

解説してください。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/24 14:24

こんにちは。

男女が生まれる確率は、正確にそれぞれ２分の１という前提で。

２人の子供が生まれるパターンは
Ａ　１人目男、２人目男
Ｂ　１人目男、２人目女
Ｃ　１人目女、２人目男
Ｄ　１人目女、２人目女
の４パターンです。

少なくとも１人が男とわかったということは、Ｄの可能性が除外され、Ａ，Ｂ，Ｃの３つに絞られたことになります。
ですから、分母が３になります。
求める可能性は、３分の２　です。

この回答へのお礼

なるほど！これですね。答えは。
つい、残り一人のことだけを考えてしまいますが、２人セットで考えるとってことなんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/02/24 21:05

No.18 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/26 03:15

連続投稿すみません。

誤記訂正です。（１箇所消去）

＜間違い＞
------------------------------------------------
【こたえ】
（読まずに解いてみるほうが面白いかも？）

・Ｐ子さんの両親の血液型から、Ｐ子さんの血液型の遺伝子は、ＡＯと断定できます。（順列で言えば、ＡＯとＯＡの２通り。）
------------------------------------------------

＜訂正後＞
------------------------------------------------
【こたえ】
（読まずに解いてみるほうが面白いかも？）

・Ｐ子さんの両親の血液型から、Ｐ子さんの血液型の遺伝子は、ＡＯと断定できます。
------------------------------------------------

No.17 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/26 00:46

＃３と＃９の回答者です。

三たびお邪魔します。

男の子と女の子の生まれる数が、統計上、少し異なることを議論するのは、題意ではなさそうなので、不毛だと思います。


代わりに、下記のような血液型の問題はいかがでしょうか。
（私の創作です）



【問題】「赤ちゃんの血液型は何型？」

Ａ型の父とＢ型の母から生まれた、Ａ型のＰ子さんがいます。
Ａ型の父とＡ型の母から生まれた、Ａ型のＱ太郎くんがいます。
Ｑ太郎くんには、Ｏ型のお兄さんがいます。

Ｐ子さんとＱ太郎くんは結婚し、赤ちゃんが生まれました。
赤ちゃんがＡ型である確率は？
ただし、赤ちゃんはＰ子さんとＰ子さんの浮気相手との間にできた子供ではありません。（と書かないといけないですか？）



【こたえ】
（読まずに解いてみるほうが面白いかも？）

・Ｐ子さんの両親の血液型から、Ｐ子さんの血液型の遺伝子は、ＡＯと断定できます。（順列で言えば、ＡＯとＯＡの２通り。）
・Ｑ太郎くんのお兄さんがＯ型なので、Ｑ太郎くんの両親は２人ともＡＯと断定できます。
・Ｑ太郎くんが生まれたとき、Ｑ太郎くんの血液型の遺伝子がＡＡである確率は１／４、ＡＯ（順列で言えばＡＯとＯＡ）である確率は２／４、ＯＯである確率は１／４です。
・【ここが大事】ところが、Ｑ太郎くんの血液型はＯではなくＡであることがわかっているので、確率の分母が変わって、Ｑ太郎くんの血液型の遺伝子がＡＡである確率は１／３、ＡＯである確率は２／３になります。（←本題と、そっくりでしょ？）

＜Ｑ太郎くんがＡＡ（確率１／３）の場合＞
赤ちゃんの血液型は、必ずＡ。
よって、この部分について、赤ちゃんがＡ型の確率は１×１／３＝１／３

＜Ｑ太郎くんがＡＯ（確率２／３）の場合＞
赤ちゃんの血液型は、Ａの確率が３／４、Ｏの確率が１／４
よって、この部分について、赤ちゃんがＡ型の確率は３／４×２／３＝１／２

以上のことから、赤ちゃんがＡ型である確率は、１／３＋１／２＝５／６
（Ｏ型の確率は、１／６）

No.16 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/25 22:43

既に A No.5 さん、または前スレッドに書かれているのかも知れませんが…

ひとりの子供の性別が、知られる確率を p と置きます。すると、

(1) 兄と弟の場合
この場合が生じる事前確率は、1/4。これが起こったとする条件化に、
(1a) ２人とも男であることが発覚する条件付確率は、p^2。
(1b) １人だけ性別が発覚して「男＋不明」となる条件付確立は、2p(1-p)。
(1c) ２人とも性別が発覚しない条件付確率は、(1-p)^2。

(2) 兄と妹または姉と弟の場合
この場合が生じる事前確率は、1/2。これが起こったとする条件化に、
(2a) 男女２人ともの性別が発覚する条件付確率は、p^2。
(2b) 男の子の性別だけ発覚して「男＋不明」となる条件付確立は、p(1-p)。
(2c) 女の子の性別だけ発覚して「女＋不明」となる条件付確立も、p(1-p)。
(2d) ２人とも性別が発覚しない条件付確率は、(1-p)^2。

(3) 姉と妹の場合
この場合が生じる事前確率は、1/4。
この場合、「男の子がいる」と知られる確率は、0。

以上から、「男＋不明」となっている状況下での、
もうひとりが女である事後確率は、(2b) / { (1b) + (2b) } を計算して、
{ (1/2) p(1-p) } / { (1/4) 2p(1-p) + (1/2) p(1-p) } = 1/2。(笑)
この値は、p の値に依りません。(笑)

ベイズ統計で重要なのは、事前と事後の間で得られた情報は何か？
それによって何がわかったか？なので、
得られた情報の詳細を端折ってしまうと、何が何だかわからなくなります。
この問題でも、「少なくとも１人は男の子だ」ということが、どのように「わかった」のか？
を真面目に吟味しないと、まともな議論はできません。

No.15 回答者： go272 回答日時： 2008/02/25 15:58

補足です。

>男女比を同率と仮定して、生まれ順を考慮しないと
>１、男と女
>２、男と男
>３、女と女
>の３種類で、３番が消えるから、１、２の２つの可能性があるから、３分の２、ですよね。

問題は「もう一人が女の子である可能性は？」なのでこの考え方はそもそも誤りなのですが、それ以上に本質的な問題は、
「3種類のうち2種類にあてはまるから2/3だ」と決めている点です。

簡単な例を挙げます。
コインを投げた結果は
1.表が出る。
2.裏が出る。
3.立つ
の三つです。
このとき
「コインの立つ確率は3種類のうち1種類だから1/3だ」
といわれてどうですか？納得しますか？
これが成り立つには「同様に確からしい」という仮定が必要でした。
この例では明らかに同様に確からしくないのでこの考えは使えません。

では、
１、男と女
２、男と男
３、女と女
はどうでしょうか。
（男子と女子）の確率＝（兄,妹）の確率＋（姉,弟）の確率＝1/2*1/2+1/2*1/2＝1/2
（男子と男子）の確率＝（兄,弟）の確率＝1/2*1/2＝1/4
（女子と女子）の確率＝（姉,妹）の確率＝1/2*1/2＝1/4
となり、こちらも同様に確からしくはありません。

問題の答え2/3には「条件付き確率」を使えば簡単にたどり着けます。
詳しくは♯7の方が書いて下さっているのでもう一度参照なさってください。

一方、順番を考えれば
（男、男）（男、女）（女、男）（女、女）
の確率はそれぞれ1/4なので同様に確からしいといえます。
このときは今までの回答にもあったように、
（女、女）はないから3つのうちどれかで、
そのうち女の子がいるのは2種類だから2/3です。

ここまでが、男女比を同率とみなした、数学的なお話でした。

実際のデータでは男子のほうが多いのは事実でしょうが、
それが影響を与えるのは、いま求めた2/3という数字であって、1/2ではありません。
ためしに男女比105：100で計算すると（男子の確率が約52％、女子約48％）
求める確率は (2*0.52*0.48)/(0.52^2+2*0.52*0.48)=0.6486...
となり、約65％になります。

「実際のデータが1：1ではないから1/2ではない」というのは根本的に間違った考え方です。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2008/02/25 18:38

No.14 回答者： age_momo 回答日時： 2008/02/25 15:35

#5です。

話が変な方向に向いてしまっているようですが、

>そうなると、２人兄弟の男女の組み合わせは
>１、男と女
>２、男と男
>３、女と女
>の３通りしかないんじゃないかなと。
>それで、少なくても１人が男児なので、３番は消える。
>だから、答えは２分の１で○
>という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか？(^_^;)

これは例えば全ての目がでる確率が1/6のサイコロを2個振ったときに
1,1のゾロ目と1,2のどちらが出やすいかと同じ議論です。当然、
1,2の方が2倍出やすいと思います。それと同じで１，２，３それぞれが
起こる確率そのものが違いますのでここから3番を消しても1/2ではありません。
元々の確率は１が1/2　２，３が1/4ずつで、確率的でなく３が消えれば
1/2÷(1/2+1/4)=2/3と計算します。

確か、出生率は男児の方が若干高く、乳児期の生存率が若干低いので
子供としては若干、女児が多いという記事を読んだ覚えがあります。
ただ、この話はそのような微差の話ではなく、どちらも1/2と仮定した時にも
女児である確率が2/3になるという話です。

私自身はこの手の質問が非常に紛糾しやすいのは確率論の定義に従い
疑問の余地なく問題が作られていないためだと思っています。
実際に次の4パターンから
A　女、女
B　女、男
C　男、女
D　男、男
確率に影響が出ないようにAだけを消す文章を作るのが難しいのです。
例えばある子供の親がその『ある人』だと分かったとか、その人の家の表札に
男の子の名前があったなどでは確率は1/2になってしまいます。前にも書きましたが、
そういうことが起こる確率がB,Cに比べてDの方が2倍あるからです。
色々、考えた結果がURLの#61のようなシチュエーションでないと2/3に
導けませんでした。(なので色々な人たちが1/2という確率を支持して
いたのだと思います)
ただ、そのようにA,B,C,Dから等しい確率でAだけを消せば女児がいる確率が
2/3になるのは間違いありません。

と書いていたら、qa2815878で強く1/2を主張されていた方が書き込まれていますね。
ちょうど良いので少し乗っかって二つの論の違いがどこにあるかを書いて見ます。

>(1) 子供が２人いる全世帯の集合を考える。
>(2) 中から１人の子供を無作為に選ぶ。
>(3) それが女であれば(2)に戻り、男であれば(4)へ進む。
>(4) 選んだ子供を家に戻さず、その家を訪問して２番目の子供を連れてくる。
>(5) ２番目の子供の性別を記録し、子供たちを家に帰す。
>(1) に戻って、このループを無限回繰り返す。

この(2)(3)がまさしく確率的に男児がいるかどうかを調べた結果です。
シミュレートすれば1/2になります。
一方、

(1) 子供が２人いる全世帯の集合を考える。
(2)対象全世帯から男児がいる世帯のみを残して残りは消去。
(3) 1世帯を調べて女児がいるかどうか。いれば○、いなければ×
(1) に戻って、このループを無限回繰り返す。

ループの回数に対して○の数を出す。これなら2/3です。
端的にいえば男児がいることを確率的に調べるか、問題として
与えられたものとして扱うかの違いです。なので戻ってどうやって
『少なくとも１人は男の子』が分かったかが重要なのです。

再度書きますが、結論を出すには問題が不備なのですよ。

この回答へのお礼

なるほど！サイコロに例えて説明していただき、合点がいきました。
そうですよね。勘違いしてました。
結論を出すには問題が不十分ですよね。
でも、この問題は○か×かというだけの問題なので、どのみち２分の１ではないから、答えが出るのでしょうね。

お礼日時：2008/02/25 18:37

No.13 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/02/25 15:06

この問題は、過去にも登場しましたね。

問題を数学的モデルとして正確に記述することが必要です。

(1) 子供が２人いる全世帯の集合を考える。
(2) 中から１人の子供を無作為に選ぶ。
(3) それが女であれば(2)に戻り、男であれば(4)へ進む。
(4) 選んだ子供を家に戻さず、その家を訪問して２番目の子供を連れてくる。
(5) ２番目の子供の性別を記録し、子供たちを家に帰す。
(1) に戻って、このループを無限回繰り返す。

サイコロやコンピューターを使ってモンテカルロ法に頼るもよし、「ベイズの定理」に頼るもよし。答は一つです。

この回答へのお礼

お答えありがとうございました。

お礼日時：2008/02/25 18:34

No.12 回答者： go272 回答日時： 2008/02/25 11:38

>もう一つは、現実の統計を考慮すると、男女比は同率ではなく、男児が多い傾向があるので、確率は２分の１ではない

男女比が同率だとしても確率は2分の1にはなりません。
実際のデータを用いて検証した結果も大体2/3くらいになるらしいです。

http://web.sfc.keio.ac.jp/~kogure/course/2007fal …
（※PDFで開きます！）
の10くらいからの議論がまさにこのことです。
数学者が考えることと統計学者が考えることの違いも説明されています。

あと、♯11の方の
>2000年度の全国の新生児男女比率は116.86（女子100人に対し、男子116.86人）という結果

というのは中国のケースです。一般的には103-107くらいだそうです。
http://news.searchina.ne.jp/disp.cgi?y=2002&d=05 …

この回答へのお礼

教えていただいだ資料、とてもよくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/02/25 18:33

No.11 回答者： nrb 回答日時： 2008/02/25 08:32

そもそも、問題が不十分なのかもしれませんね

この問題は・・・１／２に思えてしまう所に罠があります
だから・・それがこの問題の特徴なんですね

しらべもしなくて・・・・思い込み罠に誘われます

１、男と女
２、男と男
３、女と女
の３種類で、３番が消えるから、１、２の２つの可能性があるから、３分の２、ですよね。
１か２のどちらか一方と考えてしまったから、２分の１なんじゃない？と思ってしまいました。
１と２の両方の可能性があるんですよね。
すいません、自分で書いて、自分で突っ込んでしまいました(^_^;)

この意味は無限では無いから・・・そうなります
有限だから１／２には成り得ません

子供の人口が・・・２名ならば・・・１で女性
４名なら２／３
６名ならば３／５
どんどん増やしていこう
７名ってどうなるの・・・・・これに気づくのも１つ
奇数ならば・・・・どうなる

となりますが
人間には０．５人とは有り得ません
数学で行くと０．５は有り得ますが人間は０．５人にできません
かならず奇数になる瞬間がありますこの時は
男性が１名多いと確立は同じですが
偶数だと
必ず０．５よりわずかですから女性の確立が大きいです

有限なので・・・こうなります
無限ならば・・・０．５に無限に近くなる→０．５になります

この問題の罠は
人口は有限である
０．５人は有り得ない
男女構成比は１：１では無く　女性が１で男性は１より大きいのが実際のデータ確立です

このどれに気づくと×だとの結論がでます

そうなると、２人兄弟の男女の組み合わせは
１、男と女
２、男と男
３、女と女
の３通りしかないんじゃないかなと。
それで、少なくても１人が男児なので、３番は消える。
だから、答えは２分の１で○
という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか？(^_^;)

これは

３番目の女と女は有り得ません
男性と決まってますから・・・・・・・・・
この事象はありえないので

１、男と女
２、男と男
となりますよ

この回答へのお礼

再びありがとうございます。

お礼日時：2008/02/25 18:33

No.10 回答者： nrb 回答日時： 2008/02/24 23:28

事象を考えて確立だすのは間違いです

2000年度の全国の新生児男女比率は116.86（女子100人に対し、男子116.86人）という結果

なので男性の方が可能性が高いが正解です

確率的には男性の方が生まれる確立が高い

実際の統計データがそれを物語ってます

ああ・・間違ったままで終りそう・・・・
人口統計みれば判る話なのに

１／２だと思う錯覚に・・・引っ張られてる

この回答への補足

あ！お礼を送信してから気が付きました。
男女比を同率と仮定して、生まれ順を考慮しないと
１、男と女
２、男と男
３、女と女
の３種類で、３番が消えるから、１、２の２つの可能性があるから、３分の２、ですよね。
１か２のどちらか一方と考えてしまったから、２分の１なんじゃない？と思ってしまいました。
１と２の両方の可能性があるんですよね。
すいません、自分で書いて、自分で突っ込んでしまいました(^_^;)

よって、そもそもはどうして２分の１で×なのか、を知りたくて質問したので、その解説としては、２通り考えられ、
１つは、男女比を同率と考えて生まれ順を仮定しないので３分の２
もう一つは、現実の統計を考慮すると、男女比は同率ではなく、男児が多い傾向があるので、確率は２分の１ではない
よって、どちらであっても、「確率２分の１」という答えは×。ということですね。

補足日時：2008/02/25 07:21

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうですね。現実の男女比の統計を考慮すると、２分の１ではない、ということになりますね。
そもそも、問題が不十分なのかもしれませんね。
この問題は「実際の統計を考慮しているのか」「男女比を同率と仮定しているのか」わかりませんね。

ただ、男女比を同率と仮定した場合、夕べは一旦３分の２で納得したんですが、寝るときにふと考えたんですけど、また疑問が。。
男女比を同率と仮定して「少なくても１人は男児」と表現するってことは、生まれ順は考慮しないってことですよね？
そうなると、２人兄弟の男女の組み合わせは
１、男と女
２、男と男
３、女と女
の３通りしかないんじゃないかなと。
それで、少なくても１人が男児なので、３番は消える。
だから、答えは２分の１で○
という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか？(^_^;)

お礼日時：2008/02/25 07:14