段差を乗り越えるのに必要なトルクについて

標記の件について教えて下さい。

静止状態から段差を乗り越える場合、段差を乗り越えるのに必要なトルクは
Ｔ≒ｍｇ（√２ｈＲ）
Ｔ：段差を乗り越えるのに必要なトルク
ｍ：全重量
ｇ：重力加速度
ｈ：段差の高さ
Ｒ：車輪半径
で求めることが出来るとかいてあったのですが、この式の導き方が分かりません。

教えてください。

・その他にこんな式がある
・衝撃を考慮するとこんな式になる
等もございましたら教えていただけると幸いです。

宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#168349 回答日時： 2008/04/01 21:07

まず、(4)を解いてください。

(4)は、２階線形でしかも定数係数ですから、解くのは容易です。
つぎに、初期条件を使って積分定数決定してください。
最後に、t＞0でφ＞0という条件を使ってTを求めます。

＞平行軸の定理は使う必要は無いのですか。
使ってますよ。
車輪の重心まわりの慣性モーメントはmR^2である。
よって、車輪の点Bまわりの慣性モーメントIは
I=mR^2+mR^2=2mR^2

No.2 回答者： noname#168349 回答日時： 2008/03/28 02:40

力学の問題は、まず運動方程式を立てることから始めます。

物が動いていたら運動方程式です。
極座標で書いた運動方程式に↑rを外積で掛け、dr/dt=0として得られる
Id^2θ/dt^2=N　　　・・・(1)
(Iは慣性モーメント、Nはトルク）
という式を使います。（(1)も一種の運動方程式といえます。）

水平方向にx座標をとり、鉛直方向にy座標をとる。
段差のプロファイルをAOBCとする。各点の座標は
A(∞,0),
O(0,0),
B(0,h),
C(-∞,0)
である。
車輪の中心を点Pとする。

x軸正方向と↑BPのなす角をθとすると(1)より
Id^2θ/dt^2=-Rmgcosθ+T　　　・・・(2)
(Iは点Bまわりの車輪の慣性モーメントでI=2mgR^2、-Rmgcosθは重力によるトルク、Ｔは外力によるトルクである）
こうして微分方程式を得るが、これは非線形であり、解くのは容易ではない。

半直線OAと点Bに接するように車輪をおいたときのx軸正方向と↑BPのなす角をaとする。
θ=φ+a とすると(2)は
(2mgR^2)d^2φ/dt^2=-Rmgcos(φ+a)+T　　　・・・(3)
となる。

重力によるトルクは段差をのぼるにつれて小さくなる。
よって車輪を直線OAから離すとき（このときを時刻t=0とする）に最大のTが必要である。このTを求める。
0≦t<<1のとき
cosφ≒1,sinφ≒φ
より(3)は
(2mgR^2)d^2φ/dt^2≒-Rmg(cosa-φsina)+T　　　　・・・(4)
と近似できる。

Ｔを定数とすれば(4)は線形なので、解けますね。
初期条件はt=0で
φ=0
dφ/dt=0
です。


＞なぜ太さのない円輪とするのですか？？？？
太さを考慮すると、慣性モーメントが2mgR^2より小さくなります。また、慣性モーメントの計算が煩雑になり面倒です。

この回答への補足

あと、は間違えてつけてしまいました。
すみません。

補足日時：2008/04/01 16:51

この回答へのお礼

uto-pia様

連絡遅くなり申し訳ありません。

もうひとつ教えてください。

恥ずかしながら
(2mgR^2)d^2φ/dt^2≒-Rmg(cosa-φsina)+T　　　　・・・(4)
から
Ｔ≒ｍｇ（√２ｈＲ）の導き方がよく分かりません。あと、平行軸の定理は使う必要は無いのですか。

すみませんが教えてください。
宜しくお願いします。

あと、

お礼日時：2008/04/01 16:50

No.1 回答者： noname#168349 回答日時： 2008/03/27 01:27

計算したところ、

1.車輪を太さのない円輪とする
2.段差の角と車輪が滑らない
3.h<<R
という３つの仮定をおくと
mg√(2Rh)<T
が得られるようです。

ところでk-gisiさんは、理系の大学生ですか？
もしそうだったら、せめてどこまで考えたか書いてほしいですね。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。

私は段差の角を基準点としてモーメントを考えたり、位置エネルギーなどを考えたりしましたが導けませんでした。

uto-pia様
計算が出来たのなら、導き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

p,s,1.車輪を太さのない円輪とする
の仮定が良く分かりません。
なぜ太さのない円輪とするのですか？？？？

お礼日時：2008/03/28 00:46