確率の問題です

「20本のくじの中に４本の当たりくじがある。このくじをＡ、Ｂの二人がこの順にくじを引き、くじをもとに戻さないとき、Ｂが当たりくじを引く確率を求めよ。」っという問題があります。

この問題の回答では、答えは「１／５」ということになってますが、どうにも腑に落ちません。
Ｂが何回目に引いた時の当たる確率を求めるのか問題に記載されていないところが問題不備な気がしますが、それはさておき、何回目かの指定が無い以上、とにかくＢが当たる確率を求めればよいのだと思います。
しかしながら、問題にあるようなくじを実際にやってみたとして、Ｂが当たりくじを引く確率が1/5というのが直感的に考えられません。
(８割は先にくじを引く方が勝つの？？？)
直感的には1/2な気がしますが、そこは学問なので分数で細かく表されるのだと思います。
どなたか確率に詳しい方がいましたらご教授願います。

ちなみに私の見解では「Ｂが１回目に引く時に当たりを引く確率を求めよ」っというのが正しい問題で、その回答は16/95だと考えてます。
回答は選択式で、16/95という選択肢もあります。
(1/5になる理由がわからないので勝手に解釈してるだけですが。。。)
なお、回答選択肢は以下の５つです。
3/95、 　　 16/95、　　 1/5、　　 48/9025、 　　 13/95

－以上－

No.5 回答者： diab 回答日時： 2008/04/01 21:48

2人が順にくじを引くときBが当りくじを引く確率なので、4/20=1/5で良いと思います。

2人が交互に合計20回くじを引くとき、AもBも5回に1回は当りくじを引く可能性があるということだと思います。

No.4 回答者： chanfi 回答日時： 2008/04/01 18:23

たしかに、「何回引くのか」書いていないので、

これは問題不備とも言えますね。。

＞ちなみに私の見解では「Ｂが１回目に引く時に当たりを引く確率を求めよ」
＞っというのが正しい問題で、その回答は16/95だと考えてます。

これがもし「当たりくじを引いたら勝ち」というルールがあり、
さらに「Ｂが1回目に引くときに当たりを引く確率を求めよ」という問題なら、

16/20 * 4/19 = 64/380 = 16/95

で、質問者様の答えで正解だと思います。

しかし、「当たりくじを引いたら勝ち」というルールがないので、
Ano1.様の解答である、

4/20 * 3/19 = 12/380

16/20 * 4/19 = 64/380

12/380 + 64/380 = 76/380 = 1/5

が正解ですね。


ちなみに、「先に当たりくじを引いた方が勝ち」というルールがある場合、
20（偶数）個の中に1個だけ当たりくじがある場合は、
質問者様のおっしゃるとおり、勝つ確率は1/2です。

しかし、20個の中に複数当たりくじがある場合は、
「先行が有利になる」という確率のマジックが発生します。

簡単に例を挙げてみますと、4個の中に1個だけ当たりくじがある場合で、
「ＡとＢが交互に引いて、先に当たりくじを引いた方が勝ち」というルールだった場合、

Ａが当たり(1/4)　Ａの勝ち(1/4)
Ａがはずれ(3/4)→Ｂが当たり(1/3)　Ｂの勝ち(3/12 = 1/4)
Ａがはずれ(3/4)→Ｂがはずれ(2/3)→Ａが当たり(1/2)　Ａの勝ち(6/24 = 1/4)
Ａがはずれ(3/4)→Ｂがはずれ(2/3)→Ａがはずれ(1/2)　Ｂの勝ち（6/24 = 1/4)

ということで、Ａが勝つ確率もＢが勝つ確率も1/2となります。

しかし、4個の中に2個当たりくじがある場合は、

Aが当たり(2/4)　Ａの勝ち(1/2)
Ａがはずれ(2/4)→Ｂが当たり(2/3)　Ｂの勝ち(4/12 = 1/3)
Ａがはずれ(2/4)→Ｂがはずれ(1/3)　Ａの勝ち(2/12 = 1/6)

という感じに、Ａが勝つ確率が2/3 で、Ｂが勝つ確率が1/3となってしまいます。

ちなみに、奇数個の中に当たりが１つだけある場合は、
先行の方が多くチャレンジできるので、当然、先行が有利になります。

たとえば、3個の中に1個だけ当たりがある場合ですと、

Ａが当たり(1/3)　Ａの勝ち(1/3)
Ａがはずれ(2/3)→Ｂが当たり(1/2)　Ｂの勝ち(2/6 = 1/3)
Ａがはずれ(2/3)→Ｂがはずれ(1/2)　Ａの勝ち(2/6 = 1/3)

で、Ａが勝つ確率2/3で、Ｂが勝つ確率が1/3ですね。

4個中2個当たりがある場合と、3個中1個当たりがある場合の
先行が勝つ確率が一緒だなんて、なんか変な感じですよね。

こんな感じにいろんなパターンについて考えてみるのも、結構面白いですよ。

ちょっと話がずれてしまいましたが＾＾；

No.3 回答者： blue-chimu 回答日時： 2008/04/01 00:22

多分、「ＡかＢ、どちらが当たりくじを引くか」の確率ではなく、

「Ａが当たりくじを引く引かないに関わらず、Ｂが当たりを引く確率」なのだと思います。

例えば…学校の席替えで４０人がくじを引く。その時「１」と書かれたくじを引く確率はどの生徒であっても４０分の１。
こんな感じでしょうか。

No.2 回答者： neKo_deux 回答日時： 2008/04/01 00:15

くじはＡ、Ｂの順でそれぞれ１回ずつしか引かないのでは？

当たるまで引くとは書いていませんし。

> ちなみに私の見解では「Ｂが１回目に引く時に当たりを引く確率を求めよ」っというのが正しい問題で、その回答は16/95だと考えてます。

この問題の理解で良いと思いますが、確率は１／５になると思います。

No.1 回答者： LOSSIGNOR 回答日時： 2008/04/01 00:15

私は以下のように考えました。

１.Ａが当たりを引き、Ｂが当たりを引いたパターン
２.Ａがはずれを引き、Ｂが当たりを引いたパターン

１のパターンは、
4/20　×　3/19　＝12/380

２のパターンは、
16/20 ×　4/19　＝　64/380

両方足して、
76/380　＝　1/5

です。