よろしくお願いします。
4次元空間における、超立体についてよく知りたいのですが、捉え方がまだよくわかりません。
私の読んだ某雑誌では、
0次元の点は端がないので→0
1次元の線は、端が2つあるので→2
2次元の正方形は、端(辺)が4つあるので→4
3次元の立方体は、端(面)が6つあるので→6
ここから推測すると、
4次元の超立方体は、8つの端(立方体)を持つ形。→8
であろう、という推測が書いてありました。
「端」の概念はその形を切った時の断面がどのようなものかを考える、という概念でもありますから、次元というものの定義から、私にもわかる基準の選び方です。
ただ、このあと、
「3次元までは増え方が等差数列である」と言ってるだけであって、一般化するには不安が残るようにも感じます。
もし8じゃなかったら、どうするの?と思ってしまいます。
本当に超立方体がそのような8つの立方体で囲まれたものであるとして、現実にそれを検証する方法はあるでしょうか?
A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
小学生でも分かる方法として,オイラーの多面体定理で確認する方法があります.
3次元なら,穴が開いていない任意の多面体(=立方体だろうが単体(三次元なら三角錐)だろうが何でも良いです)に対し,
頂点の数-辺の数+面の数=2
になります.
これを質問者さんの計算なさった5次元にあてはめると,
32-80+80-40+10=2
となって,正しいことが分かります.
元々の御質問の,4次元の場合に頂点の数が8個であっているのか?というのも同様に,4次元超立方体なら
頂点の数-辺の数+面の数-体積の数=0
が成り立てば良いのですが,実際に
16-32+24-8=0
となり,
> 4次元の超立方体は、8つの端(立方体)を持つ形。→8
というのも正しいことが分かります.
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%9D%A2% …
ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
あまり賢くないもので、理解に時間がかかってしまい、申し訳なく思います。
オイラーの多面体定理を使うと、なぜ3次元で多面体が5つしかないのか?というのが、ようやく導くことができました。
それはそれで良かったのですが、オイラーの多面体定理は、そもそもどのように導き出されたものなのでしょうか?
なぜ次元数が増えていっても成り立つと証明できるのですか?
ウィキで調べると、他にも変化形の定理が存在するようですし、でも、どこからそんな結論に至るのか、自分で導くことはできませんでした。
入り口だけでも教えて頂けると助かります。
No.4
- 回答日時:
それで OK です.
n次元空間は「n個の要素からなる (実) ベクトルの集合」であり, その中で「特定の連立 (不) 等式を満たすベクトルの集合」が空間内の図形を表します.
n次元立方体は
{ (x1, ..., xn) | |xi| ≦ 1 }
で定義することが多いと思います. これだと重心が原点にあって, 1辺の長さは 2 ですね.
で, その「端」は「いくつかの不等式を等式に変えたもの」で定義します. 立方体の場合, xi = 1 と xi = -1 は両立しませんから, 空でない「端」を定義するためには「xi = 1 と xi = -1 の高々一方のみ」を使うことになります.
で, 例えば頂点は全ての xi に対し xi = 1 か xi=-1 という等式を与えると得られ, その個数は 5次元だと 32個です. 辺では 1個の xi を除いて等式を与えるので, xi の選び方 (5通り) と「その他の xi に 1 と -1 のどちらを与えるか」(2^4 = 16通り) を決めて 80本となります. 面は 2個の xi の選び方 (10通り) × その他の xi に対する ±1 の与え方 (2^3 = 8通り) = 80通り.
他の次元の「端」も同様です.
この回答への補足
すみません、まだ理解に至ることができません。
>n次元空間は「n個の要素からなる (実) ベクトルの集合」であり, その中で「特定の連立 (不) 等式を満たすベクトルの集合」が空間内の図形を表します.
n次元立方体は
{ (x1, ..., xn) | |xi| ≦ 1 }
で定義することが多いと思います. これだと重心が原点にあって, 1辺の長さは 2 ですね.
で, その「端」は「いくつかの不等式を等式に変えたもの」で定義します.
までは理解できました。
>立方体の場合, xi = 1 と xi = -1 は両立しませんから
というのは、「並行する面は交わらないから」という理解の仕方であっていますか?
xiという記号の意味するところがまだよくわかりません…
もう少しだけ解説を頂けますと助かります…
申し訳ありません。
No.3
- 回答日時:
その通りであってます... けど... 「推測」って何だ. ちゃんとした本を読めば (ってそんなにないんだけど) きちんと書いてあるのに. 「4次元空間における超立方体」と「その端」を数学的に定義すれば一目瞭然です.
3次元でいう「正多面体」に対応するものは 4次元では 6種類ありますが, 5次元以上になると 3種類しか存在しないことも知られています.
すみません、正多面体についてはまだよくわかりませんが、とりあえずn次元における超立方体の頂点、辺、面、立方体…の数を導く方法に自力で辿り着きました。
頂点は、単純に倍々で増えていき、辺や面については、一つ手前の次元での数を2倍したあとに、それぞれの頂点、辺の数を足してやれば良いようです。
なんというか、移動する前と後の図形は同じなので2倍して、あとは移動中の軌跡について考えるというやり方です。
自分で計算した結果、本に記載されている数値と一致したので、安心しました。
とりあえず、導き方は納得できたのですが、同じ方法で5次元の超超立方体について調べてみると、
頂点、 32
辺 80
面 80
立方体 40
超立方体 10
からできている図形という結論に達しました。
辺と面の数が等しく80という数になっているのですが、本当に合っているのか不安です。
そもそも3次元を超えている時点で、体感的に合ってるか間違ってるかは語れません。定義の仕方で数の振る舞いも変わるでしょうし、この4次元やn次元の捉え方が現実世界と整合性があるのか、私にはわかりません。
どのように検証すれば良いのでしょうか?というか可能でしょうか?
No.2
- 回答日時:
追記
三次元にも時間がありますが、一定方向にしかありません。
時間も座標に描くことは可能です。
つまり、空間的に捉えることはある程度可能なんじゃないでしょうか?
そこに幾何学的な性質は現れると思います。
ただ、空間と同じ単位を使って捉えられるものなのかは、私はわかりません。
だから、今回は純粋に空間の余剰次元として考えています。
時間の矢は未来に向かって一方通行のようですが、物理学的には逆を向いていても問題ないという現象が見られます。
ただ、CP対象性の破れとか、難しいことはわからないですけど…。
最新の科学ニュースでも決定打はないようですね。
No.1
- 回答日時:
1次元:線・点の世界
2次元:正方形・紙に書いた絵の世界
3次元:立方体・現世界(人間が暮らしている世界)
4次元:時間が入ってきます。過去・現在・未来の時間が交錯した世界です。なので3次元世界において人間の目で見ることは(おそらく)できません。常に形が変わっていてとらえることが出来ないのではないでしょうか?同じ物質の固体・液体・気体でも、測る時間によって質量と大きさが変わるとか?とらえられないものの世界では?
ご回答ありがとうございます。
私の質問は、空間としての4つ目の次元を考えた場合のことでして、この場合時間は関係ありません。
確かに物理学では、3次元に時間を加えて時空と考えるようですが、今回は物理ではなく、数学の幾何学の問題として、3次元から一つの空間次元を増やした場合、何が起きるのか検証する方法についてお尋ねしております。
説明不足で申し訳ありません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 超常現象・オカルト パラレルワールドと 並行空間。 おなじ空間に別の空間。 アベンジャーズのような それぞれ 別の空間に 3 2023/01/21 12:55
- 数学 「次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。」を、易しく解説して下さい。 6 2023/08/21 12:53
- 哲学 人間はカオスだ!?:国家権力の三権分立と神なる三位一体とのフラクタル構造? 56 2022/11/28 17:29
- 物理学 ループしている世界で光の思考実験。 3 2023/02/05 07:35
- 哲学 人間はカオスだ!?:三権分立と三位一体とのフラクタル構造? 0 2022/09/02 05:01
- 哲学 時間と空間について 5 2023/01/15 02:25
- 哲学 神論のエセンスは これだ 5 2022/07/19 04:39
- 哲学 人間はカオスだ!?:三権分立と三位一体とのフラクタル構造? 0 2022/09/10 04:02
- 哲学 神論のエセンスは これだ 198 2022/10/25 04:36
- 哲学 神とは――世界が世界と和解するために―― 4 2022/08/12 13:40
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
定規で正三角形
-
正三角形の周りを1周する円が描...
-
高低差の計算
-
数II 直線の方程式 問 △ABCの各...
-
正八面体の8面を、7色A~Gで塗...
-
分かりません・・・
-
直角三角形以外の三角形の辺の長さ
-
ryzen CPU の2000シリーズをク...
-
【急】数学の解説をお願いした...
-
外接円が存在しない三角形って...
-
辺の長さの異なる六角形の面積
-
θの求め方
-
円の直径330mmで円の中に正三角...
-
数学3です。 正三角形ABCの内接...
-
数A 正八面体の中の立方体
-
中学の三平方の定理教えて下さい
-
正三角形の辺の長さを求めるには?
-
正5角錐を作るにあたり
-
三角錐の稜線の角度の出し方。
-
〈オイラーの多面体定理〉 各面...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報