立体の合同条件はあるのでしょうか

Question

立体の合同条件はあるのでしょうか

来年、大学受験を控えています。
今更になって、こんな質問して情けないのですが、教えてください。

「正四面体をABCDとします。その4頂点から等距離にある点をＯとします。
ここで，正四面体を，4つの三角すいＯ－ＡＢＣ，Ｏ－ＢＣＤ，Ｏ－ＣＤＡ，Ｏ－ＤＡＢ
に分割します。この4つの三角すいは合同な立体です。」

という表現が質問に対する解答にあったのですが、そもそも立体が合同であるとは、何を示せば
十分なのでしょうか。
上記の場合では、すべての辺の長さが等しいからと言うことなのでしょうか。
いつもあやふやなまま通過してしまってます。
よろしくお願いします。

juju6onchu · Accepted Answer

１．
立体の合同条件なんて誰も（数学教授も）知りませんが、
そういう疑問は大切です。

２．
まずは
★「合同の定義」と「三角形の合同条件」を知っていれば十分であり、あとは場合に応じて考えるだけ

だということを知っておきましょう。

３．
合同の定義は「移動によってピッタリ重ね合わせることが出来る」ですから，

「ピッタリ重ねられるかどうか」頭の中で（或いは紙上で）確認すればいい訳です。（証明までは普通要求されません）

（合同の定義はより正確には、「大きさと形を変えない移動、即ち平行移動・回転移動・対称移動の合成により、ピッタリと重ね合わせることが出来る」です。ここで、平面では対称移動は線対称移動ですが、空間では面対称移動（＝鏡像をとること）であることに注意しましょう）

★今の場合は対称性から明らかでしょう。
★心配な場合は、図示したり計算して確かめましょう。

４．
貴方の仰有る通り
「全ての対応する辺の長さが等しい２つの三角錐は合同」
であり、その証明を一応記します。

（証明？１）対応する各面の三角形が合同になるから同じ様に展開すれば展開図は合同であり、「展開図から組み立てる」ことを考えれば、一通りしかできないことは明らか。

もう少しキチンとするには、例えば

（証明２）２つの三角錐を頂点が対応する様にＰ－ＡＢＣ，Ｑ－Ａ’Ｂ’Ｃ’とする。
底面は合同なので重ねて△ＡＢＣにする。Ｐ，Ｑは平面ＡＢＣに対し同じ側に取っておく。
さて、ＰＡ＝ＱＡより、Ｐ，ＱはＡから等距離，つまりＡを中心とするある球面上にある。
同様にＰ，Ｑは共に、Ｂ，Ｃをそれぞれ中心とするある球面上にもある。
よってＰ，Ｑはその３つの球面上にあるが、２つの球面の交りは円であり、その円と残りの球面の交点は、平面ＡＢＣの上下に一個ずつある。
Ｐ，Ｑは平面ＡＢＣに関して同じ側にあるので、Ｐ＝Ｑである。（証明終）

更にきちんとするには、三垂線の定理などを使って、円や球の性質を用いずに証明出来ます。
（省略。要望があれば書きます）

５．
ただ、大きな多角形ならば、たとえ「対応する各面が合同」でも、合同にならないことがあります。
へこんでしまう場合が出て来ます（凸と凹とが出て来ます）。
例えば一辺１の立方体に高さ０．５の正四角錐をのせて家を造りましょう。その四角錐の分を逆にへこませた立体も、元の家と、「対応する面はそれぞれ合同」になります！
そこは注意しておきます。

（四角形でも、対応する４辺が同じ長さでも合同とはいえないのと同様です。４辺の長さが１の四角形は、正方形の他にひし形が無限にあります）

以上です。

nattocurry · Answer

「立体」の合同条件、ではなく、「四面体」の合同条件、を考えましょう。
4面の三角形が全て合同、だと、四面体は合同になりませんかね？

sak_sak · Answer

マッチ箱の中箱を抜くと、各辺の長さは同じままなのに
元の形とは合同ではなくなりますね。
なので、立体を構成する全ての面が合同であることは必要だと思います。
多角錐や多角柱の場合は十分とも言えるでしょうが
どんな図形(例えばサッカーボールのような多面体)でも
十分と言えるかは確信がありません。

ご質問のケースでは全ての面が3角形ですから
全ての辺が等しければ、3角形は合同になります。
それで合同と言えているのだと思います。

tomokoich · Answer

面の数が等しくてそれぞれの面の辺の長さが等しければ間違いなく合同であるとは思いますが・・
（構成しているそれぞれの面が中学でやる合同条件を満たしていればあとは面の数が同じであれば同じ立体になるとは思いますけど立体と言ってもいろいろありますけどおっしゃっている多面体ならこれでいいかと）

立体の合同条件はあるのでしょうか

１．

「立体」の合同条件、ではなく、「四面体」の合同条件、を考えましょう。

マッチ箱の中箱を抜くと、各辺の長さは同じままなのに

面の数が等しくてそれぞれの面の辺の長さが等しければ間違いなく合同であるとは思いますが・・

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