対称行列の固有ベクトル

対称行列の固有ベクトルは互いに垂直という性質がありますが、
固有ベクトル
AX1＝λ1 X1、 AX2＝λ2 X2 の式から

ｎ次の対称行列Aは次のように書き表すことができます

A＝ λ1 X1 X1^t ＋λ2 X2 X2^t＋ ・・・ ＋λn Xn Xn^t

なぜ固有ベクトルの式から対称行列の式が表すことができるのでしょうか？
証明を教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： kup3kup3 回答日時： 2008/06/24 21:10

こんばんは。

以下　参考にしてください。スペクトル分解と関係ありそうな感じ
　対称行列というとふつう実対称行列を指します。今
　(1)Aをn次の実対称行列とすると、異なる固有値λ1,λ2に対応する
　固有ベクトルは互いに直交します。Aの異なる固有値を　
　λ1,λ2,・・・、　λkとすると一般にk≦nです。
　(2)実対称行列は、(実)直交行列で、対角化できます。
　つまり、適当な(実)直交行列P　をとって、（　P^(-1)=P^t　）
　P^(-1)AP=D(α1,α2,・・・αn)　　ここにα1,α2,・・・αnはAの
　重複を許した固有値で、D(α1,α2,・・・αn)は対角線上に上から
　α1,α2,・・・αnが並んだ対角行列です。そして
　α1,α2,・・・αnは全体としてλ1,λ2,・・・、λkのダブりをゆるしたものです。
これから
　A=PD(α1,α2,・・・αn)P^(-1)=PD(α1,α2,・・・αn)P^ｔ
　(実)直交行列Pの成分の列ベクトルが全てを固有ベクトルからとれると
　できるのだろうけれどもそこが今一つできないですー　ともかく
　X1,X2などの固有ベクトルはうまくとり直さないとダメだと思います。

(1)を証明しておきます。AX1＝λ1X1、 AX2＝λ2X2,X1,X2は　
　　0ベクトルでなく　λ1≠λ2とする。Aは実対称行列だから、
　(AX1,X2)=(X1,AX2）となる。これは　　
　(λ1X1,X2)=X1,λ2X2）⇔λ1(X1,X2)=λ2(X1,X2）よって
　(λ1－λ2)(X1,X2)=0　ここで　λ1≠λ2により(X1,X2)=0
　よって　X1とX2とは直交します。

No.1 回答者： 33550336 回答日時： 2008/06/23 23:22

条件が足りないのでは？

単位行列は対称行列であるがその固有ベクトルは直交しません。