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集合A上の二項関係Rが、Aの任意の要素a,b,cについて、
(1)反射律
aRa
(2)対称律
aRb ⇒ bRa
(3)推移律
aRb, bRc ⇒ aRc
を満たしているとき、Rを同値関係と言います。
【問題】
集合A上の二項関係Rが、反射律を満たしている。このとき、
aRb, bRc ⇒ cRa (a,b,c∈A) … (1)
が成り立つならば、Rは同値関係であることを示せ。
【証明】
Rは、反射律を満たすから、
bRb
が成り立つ。すると、(1)から、
aRb, bRc ⇒ cRa
であるが、いま、cをbと置き換えれば、
aRb, bRb ⇒ bRa
を得る。ゆえに、対称律
aRb ⇒ bRa
が成り立つ。また、(1)から、
aRb, bRc ⇒ cRa
であるから、対称律
cRa ⇒ aRc
より、
aRb, bRc ⇒ cRa ⇒ aRc
を得る。ゆえに、推移律
aRb, bRc ⇒ aRc
が成り立つ。 q.e.d.
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