下記のn次行列の固有値と固有ベクトルの求め方を教えてください。

a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an
・・・・・・・・・
a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an

上記は行列です。
|A-λE|=0を用いるのでしょうか？
固有多項式を求めることができません。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/31 05:59

・行の入れ替え

・他の行の定数倍をその行にたす

を繰り返して
対角成分より下の部分を0にできれば
そのときの対角成分を
b1,b2,・・・,bn
とすれば
(b1-λ)・(b2-λ)・(b3-λ)・・・(bn-λ)
または
その(-1)^n倍が固有多項式だ
(-1)^n倍をしないといけないかどうかははっきりしない
分かったらさっさと閉めきれ

あれ
各行同じだな
もしそうなら１行から他の行を全部引いたらいい
(a1-λ)・λ^(n-1)
または
-(a1-λ)・λ^(n-1)
が固有多項式だ

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/07/31 01:57

> |A-λE|=0を用いるのでしょうか？

> 固有多項式を求めることができません。

このような手順で解けます。

(1) |A-λE| の2～n行目全部から、1行目を引く。
そうすると1列目の数は上から順に
(a1 - λ)、λ、λ、・・・、λとなります。
他の列に関しては、-λや0等が登場します。

(2) 1列目に、2～n列目全部を加える。
1列目のλと、2～n列目の-λが打ち消しあいます。
そうすると1列目は、一番上以外が0となります。

(3) 次数を下げる。

(4) 行列式の計算。

(3)をやらずに(4)をやっても良いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/31 01:10

えっと....

行列をじ～っと見て, 固有多項式の各係数がどのように求まるかを考えれば固有多項式はすぐに求まります.
が, こんなの線形変換だと思って「どのように変換されるか」を考えれば固有多項式を求めずとも固有値, 固有ベクトルはわかります.
列ベクトル (x1, x2, ..., xn) はこの行列が表す変換によってどのようなベクトルに移りますか? そして, 移った先はどのような条件を満たしますか?