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【定義】Rを環とする。
Rの部分集合Sが次を満たすとき、SはRの部分環である という。(ⅰ)a、b∈S ⇒ a+b∈S
(ⅱ)a∈S ⇒ -a∈S
(ⅲ)a、b∈S ⇒ ab∈S
(ⅳ)1∈S (ただし、1はRの単位元)
であるから、これらが満たされていることを確認しましょう。
1)M_n(R)⊃T_n(R)である。
∀A、B∈T_n(R)に対して、
(ⅰ)A+B∈T_n(R)
(ⅱ)-A∈T_n(R)
(ⅲ)AB∈T_n(R) ←これは確認してくださいね。
(ⅳ)E∈T_n(R) (ただしEは単位行列)
よってT_n(R)はM_n(R)の部分環です。
【定義】写像ψ:X→Yが準同型であるとは次の条件を満たすことである。
(ⅰ) ψ(a+b)=ψ(a)+ψ(b)
(ⅱ) ψ(ab)=ψ(a)ψ(b)
(ⅲ) ψ(1x)=1y
であるから、これらを満たしていることを確認しましょう。
2)ψ:X→Y(Xの対角成分)とする。∀A、B∈B_n(R)に対して、
(ⅰ)ψ(A+B)=ψ(A)+ψ(B) ←これは成分同士の和の対角成分
だから成り立つ。レポートに書
く場合はn次行列を書いてみま
しょう。
(ⅱ)ψ(AB)=ψ(A)ψ(B) ←これも確認してくださいね。
計算するだけですから…。
(ⅲ)ψ(Ex)=E ←Exは(i,i)成分が1の上三角
行列で、Eは単位行列です。
更に全射を確認しましょう。Img(ψ)=Y(対角行列)
よって全射。以上より全射準同型である。
2)はなかなかこの欄には書きにくいので、確認事項のみにさしていただきました。確認してみてくださいね。
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