ABベクトルを「→AB」と表します。
--------------------問題------------------
△OABと→PO+3→PA+4→PB=→0を満たす内部の点Pがある。
直線OPと線分ABの交点をQとする。
→OQを→OA、→OBを用いて表せ。
------------------模範回答-----------------
→PO+3→PA+4→PB=0より
-→OP+3→(→OA-→OP)+4(→OB-→OP)=→0
-8→OP=-3→OA-4→OB
→OP=3→OA+4→OB/8
=7/8・3→OA+4→OB/7
よって →OQ=3→OA+4→OB/7
という問題なのですが、どうしたら「よって」になるのでしょうか?
→OP=7/8→OQと言うことなのでしょうが、どのように求まるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
線分AB上の点Qが、線分ABの点Qは、
OQ→=t・→OA+(1-t)・→OB
とあらわすことができます(0=<t=<1)。
※たとえば、線分AB上の点Qが線分ABをm:nに
内分しているとすると、
OQ→=n/(m+n)→OA+m/(m+n)→OB
が成り立ちます。これも、t=n/(m+n)とすれば、
上記と同じですね。
すなわち、線分AB上の点の場合、→OAと→OBの前の
係数を足し算すると1となります。
この回答の場合、→OP=(3→OA+4→OB)/8であるので、
→OA、→OBの前の係数はそれぞれ3/8と4/8なので、
係数の和が1となるように変形すると、
→OP=3/8→OA+4/8→OB
=7/8・(3/7→OA+4/7→OB)
となり、3/7→OA+4/7→OBがAB上の点Qの→OQ
を表すことになります。「よって」はこの意味となります。
この問題をとくあたっては、点Qが直線OP上にあるから、
→OQ=k・→OP と置くことができます。
また、点QはAB上の点だから
→OQ=t・→OA+(1-t)・→OB と置く。
→PO+3→PA+4→PB=0より
→OP=3/8→OA+1/2→OBと変形できます。
よって、
→OQ=k・(3/8→OA+1/2→OB)
=3k/8→OA+k/2→OB
そのため、
t・→OA+(1-t)・→OB=3k/8→OA+k/2→OB
がなりたち、
t=3k/8
1-t=k/2
この連立方程式を解いて、k=8/7 t=3/7
よって、
→OQ=3/7→OA+4/7→OB
このように解くこともできます。
詳しい解説ありがとうございます。
内分点の公式はそういう構造で出来ていたんですね。
「よって」では説明不足のような気がします…
問題をやって慣れるのがよさそうですね。
別解までありがとうございます。
折角なので、両方とも使えるようにします。
No.4
- 回答日時:
>> ↑OP={3↑OA+4↑OB}/8
>> 直線OPと線分ABの交点をQとする。
この条件は、
↑OQ=t↑OP
↑OQ=(1-s)↑OA+s↑OB・・・(係数の和が1)。
と書けるので、
↑OQ=t↑OP=t【{3↑OA+4↑OB}/8】
(3/8)t+(4/8)t=1
t=(8/7)
↑OQ=(8/7)【{3↑OA+4↑OB}/8】
={3↑OA+4↑OB}/7
解説は、
↑OQは↑OPの実数倍⇔↑OPは↑OQの実数倍である事と、
↑OQを↑OAと↑OBを用いて表したとき、
↑OAと↑OBの係数の和が1になればいい事を使用して、
この条件に合うように、
↑OP={3↑OA+4↑OB}/8
=(7/8)【{3↑OA+4↑OB}/7】 と変形して、
{3↑OA+4↑OB}/7 は↑OQ そのものであると・・・。
回答ありがとうございます。
>↑OQ=(1-s)↑OA+s↑OB・・・(係数の和が1)
>↑OQ=t↑OP
をしっかり理解する必要がありそうですね。
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