バネの両端におもりが付いている問題

答えが付いていない問題だったので、わかりません・・・・


バネの両端に質量のmの小物体が付いていて床に置いています（下図）。

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床は摩擦なく、自然長の状態です。

右側の物体にだけ初速度vを与えて、その後の運動を考える問題です。

１．左側の最大速度
２．ばねの最大の伸び

を求めるのですが、求め方がわかりません。


重心速度は一定と考える？？
でも、重心速度をv0と置いていいのか？

ばねの伸びを考えるときに、エネルギー保存を使って、

1/2mv^2=1/2kx^2

x:最大の伸び

としていいのか？最大の伸びになっているときに小物体は動いていないのか？

それとも相対座標で解く？

左の物体からみた相対座標でとくとしても、加速しているので慣性力が働く。でも時間によって慣性力が変わる。方向も変わってしまう…


いろいろ考えているのですが、いまいち腑に落ちる考えが思いつきませんでした。

アドバイスor解答を教えていただけると助かります。


よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/11/05 20:14

補足させてください。

【buturikyouさん】
意図をくみとっていないかもしれませんが・・・
この運動は，左の物体を壁に固定してはじめに右の物体を
押してばねを縮めておいて，それからぱっとはなして，ばねが
自然長にもどった瞬間の時点をt=0とすれば実現できる運動です。
t=0に瞬間的に静止状態から初速度を与えると考える必要はない
と思います。的外れでしたらすみません。

【sanoriさん】
>よって、片方のおもりだけに注目すれば、
>最大の運動エネルギー　＝　１／２・ｍ・（ｖ／２）^2
>です。

>よって、
>１／２・ｋｘ^2　＝　１／２・ｍ・（ｖ／２）^2

「片方のおもりだけに注目」する考えでいくと，ばね定数をk'=2kと
すべきと思われます。
1/2・2kx^2=1/2・m・(v/2)^2
∴　2x=v・√(m/2k)
重心運動のエネルギー　1/4・mv^2 = 一定
相対運動のエネルギー　1/4・mv^2 = 1/2・k・(2x)^2
となっています。

No.11 回答者： buturikyou 回答日時： 2008/11/13 21:18

似たような振動が列車の連結器が前後の車両の相互作用によって起こす運動ですが、これは残念ながらニュートン力学の範囲では解かれませんので、機構的には「遊びの範囲である」ということになります。

物を作る場面においても「遊びをどれだけ作らなければならないか」という課題になりまして力学的に厳密に解くものじゃないです。事柄の本質は運動量交換であり伝達なのです。ＦΔｔ＝ΔｐのΔｔ秒間に何が起こったかは論じられません！

強いて紹介すれば今年度ノーベル賞受賞の南部先生などが得意とした領域ですのでそれだけ難しいと心得てくださいね？

No.10 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/13 21:17

Ｎｏ．３の回答者です。

再びお邪魔します。

Ｎｏ．６様から
＞＞＞「片方のおもりだけに注目」する考えでいくと，ばね定数をk'=2kとすべきと思われます。
というご指摘をいただきました。

そのとおりですね！
ご指摘に感謝いたします！！

No.9 回答者： buturikyou 回答日時： 2008/11/13 20:51

＞９１０９１さんの回答は僕がまさに実際にはそう動くのだろうといった物に近いので、力学的に問題がなければそれでいいのでしょう。

ま、変な話ですが、91091さんの解法では運動方程式を立てていらっしゃる、いらっしゃるのですが題意に忠実に考える限りは「左側の小物体の固定を外すのはバネが自然長さの状態」であることからＦ＝０を言えます。

前述の通りにニュートンだけでは芋虫運動は解かれないということです！

No.8 回答者： buturikyou 回答日時： 2008/11/13 20:45

９１０９１さんの回答は僕がまさに実際にはそう動くのだろうといった物に近いので、力学的に問題がなければそれでいいのでしょう。

ただ、題意について「左側を固定して右側をぎゅっと縮めて手を離して自然長さになったら左側の固定を外す」というのは「手を離す」と「左側の固定を外す」というのは別事であるため、右側の小物体が左側の小物体の運動に及ぼす影響で解かなければならないのではないか、という事なんです。もしバネが運動量を瞬時に伝えるならば振動は致しません！

No.7 回答者： 91091 回答日時： 2008/11/07 21:43

この運動、実際に見ると芋虫が動くようで面白いと思います。

まるではいずりまわるようです。頭が動いているとき尻尾は止まって、尻尾が動いているときは、頭が止まってという感じ。
そう考えると、最大速度はＶｏになるのは自明のことに感じます。

運動方程式を立てると、確信を持てます。
ｍ（ｄｘ1＾2/ｄ2ｔ）＝-ｋ（（ｘ1-ｘ2）-Ｌ）
ｍ（ｄｘ2＾2/ｄ2ｔ）＝ ｋ（（ｘ1-ｘ2）-Ｌ）
ｘ1は頭の位置、ｘ2は尻尾の位置、Ｌはばねの自然長です。

簡単に解くことができて、
ｘ1-ｘ2＝Ｖｏ√（ｍ/2ｋ）sin√（2ｋ/ｍ）ｔ＋Ｌ
ですから、重心系で単振動をすることが分かります。
最大の伸びはＶｏ√（ｍ/2ｋ）となります。

また、
ｄｘ2/ｄｔ＝-1/2Ｖｏ×cos√（2ｋ/ｍ）ｔ+1/2Ｖｏ
となりますので、ｄｘ2/ｄｔの最大値はcosが-1のとき、Ｖｏになります。

No.5 回答者： buturikyou 回答日時： 2008/11/05 19:56

続きですが、最初に訂正から、

＞「ニュートン力学ではそれが瞬時に行われる」という“言い訳け”で問題解きを信仰させなくては仕方有りません。

×　問題解きを信仰　→　○　問題解きを進行

で、運動量保存則の使い方ですが“手を離した次の瞬間”にやりとりされる運動量をΔｐといたしますと「右端の物体がバネに与える運動量」と「バネが左端の物体に与える運動量」とがいずれもΔｐで一致するわけです。ですから両方の物体の質量が等しいならば撃力をやりとりした次の瞬間には「両者とも右端の物体が初速度として持っていた速度の半分で運動を始めて振動しない」というのが答えかと思うのです。

撃力の力積ＦΔｔ＝ΔｐのうちΔｔを「十分に短い時間経過」だと考えるわけです。

No.4 回答者： buturikyou 回答日時： 2008/11/05 19:40

高校物理の問題の答えとしたら「初速度の半分で等速直線運動をしてバネは伸びない」というのがこたえではないでしょうか？バネから物体に与えられる力が０になった時点で手を離すのですから具体的には“次の瞬間”を考えたいところです。

ところがどうしても振動してしまうイメージしか得られません！おまけに実際に実験したら振動するところを完全に無視した答えが必要になります。その理由は「高校物理があまりにも多くを省略させてしまうせいで現実と質的にかけ離れた答えを要求される」という辺りだと思います。バネを介して両端の物体は運動量交換を行うわけですが「ニュートン力学ではそれが瞬時に行われる」という“言い訳け”で問題解きを信仰させなくては仕方有りません。

ですから運動量保存則だけを適用しての前記のような答えを要求している問題だと思います。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/05 18:53

こんばんは。

１．左側の最大速度

重心を考えるというのは、よいところに気づかれましたね。
右のおもりだけに初速ｖを与えるので、それ以降、重心は速さｖ／２の等速直線運動をします。

そして、重心を基準に考えたとき、２つのおもりの初速はｖ／２です。

２つのおもりの速度は、重心の両側に、ｖ／２・cos（なんちゃら×ｔ）です。
符号も含めて書けば、
右のおもりの速度　＝　ｖ／２・cos（なんちゃら×ｔ）
左のおもりの速度　＝　－ｖ／２・cos（なんちゃら×ｔ）
です。

次に、はたから見ている人にとってどれだけの速度であるかは、重心の速度を足すことで得られます。
重心はｖ／２で動くので、
右のおもりの速度　＝　ｖ／２　＋　ｖ／２・cos（なんちゃら×ｔ）
左のおもりの速度　＝　ｖ／２　－　ｖ／２・cos（なんちゃら×ｔ）
の範囲で変化します。

cos は、－１～＋１　の範囲で変化するので、
左のおもりの速度は、
ｖ／２　－　ｖ／２×（－１）　　と　　ｖ／２　－　ｖ／２×（＋１）
の範囲、つまり、
ｖ　　と　　０
の範囲で変化します。
ということは、左のおもりの最大速度は、ｖ　です。

なお、上記で、
cos（なんちゃら×ｔ）
と書きましたが、
なんちゃら　＝　２π／周期
です。
また、sin ではなく cos　になる理由は、
ｔ＝０　の時の速度（初速）がゼロではなく、ｖ／２だからです。


２．ばねの最大の伸び

おっしゃるとおり、エネルギー保存の法則を使います。
そして、やはり、重心系で考えます。
重心系で考えれば、上述したとおり、最大速度はｖ／２　です。
よって、片方のおもりだけに注目すれば、
最大の運動エネルギー　＝　１／２・ｍ・（ｖ／２）^2
です。

よって、
１／２・ｋｘ^2　＝　１／２・ｍ・（ｖ／２）^2
ｘ^2　＝　ｍ・（ｖ／２）^2／ｋ
ｘ　＝　１／２・｜ｖ｜・√（ｍ／ｋ）

ばねの伸びは、ｘの２倍なので、
｜ｖ｜・√（ｍ／ｋ）
です。


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
なるほど！！！

わかりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/05 22:18

No.2 回答者： xyz203 回答日時： 2008/11/05 18:22

床の摩擦がゼロなら

１.初速度
２.伸びない
ではないでしょうか。

>>エネルギー保存成り立たなくなりませんか？
この問題では両方とも速度を持っているのでは。

違ったらすいません。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。

片方しか速度を持っていません。
この問題に、前半があります。

最初、左側の小物体は固定されていて、右側のばねを縮める。
手を放し、自然長になった瞬間に固定を外すといった感じの問題です。

お礼日時：2008/11/05 18:27