数III 微分について

y'=1/(xlog2)

を微分したy''

=－1/(x^2log2)

y'からy''の出し方がわかりません

さらにy''を微分したy'''

=2/(x^3log2)

の出し方もわかりません；；

商の微分法とlogの微分をつかってみましたがうまくいかなくて…

どなたか教えてください<(_ _)>



あともう１問の

y'=2^xlog2
を微分したy''が
=2^x(log2)^2

となる過程もわからないのでこちらも答えていただければありがたいです<(_ _)>

No.4 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/21 02:04

こんばんは。

＞＞＞商の微分法とlogの微分をつかってみましたがうまくいかなくて…

商の微分でできます！
ちなみに、log2は定数ですので、logの微分は全く関係ありません！！！

y' = 1/(xlog2)

ｙ’’は、
分母が　（ｘlog２）^2　で、
分子は
１の微分・ｘlog２　－　１・ｘlog２の微分
　＝　０　－　log２
　＝　－log２

よって
ｙ’’＝　－log２／（ｘlog２）^2
（約分して）
　＝　－１／（ｘ^2・log２）

同様に、
ｙ’’’の分母　＝　（ｘ^2・log２）^2
ｙ’’’の分子　＝　－log２の微分 かける ｘ^2・log２　－　（－log２ かける （ｘ^2・log２）の微分
　＝　０　＋　２ｘlog２
　＝　２log２
よって
ｙ’’’＝　２ｘlog２／（ｘ^2・log２）^2
　＝　２ｘlog２／（ｘ^4・(log２)^2）
（約分して）
　＝　２／（ｘ^3・log２）


しかし、
商の微分よりは、合成関数の微分で考えるほうが、計算が楽です。

y' = 1/(xlog2)

分母を　Ａ　＝　xlog２　と置いて、
ｙ’’＝　Ａ’かける １／ＡをＡで微分したもの
　＝　log２　かける　－１／Ａ^2
　＝　log２　かける　－１／（ｘlog２）^2
　＝　－１／（ｘ^2・log２）

分母を　Ｂ　＝　ｘ^2・log２　と置いて、
ｙ’’’　＝　Ｂ’かける　－１／ＢをＢで微分したもの
　＝　２ｘlog２　かける　１／Ｂ^2
　＝　２ｘlog２／（ｘ^2・log２）^2
　＝　２／（ｘ^3・log２）



＞＞＞あともう１問の　y'=2^xlog2　を微分したy''が=2^x(log2)^2となる過程もわからないのでこちらも

これは、
（ａ^x）’＝　ａ^x・logａ
の公式を使います。

ｙ’＝　（２^x・log２）’
（log２は定数なので）
　＝　（２^x）’・log２
　＝　（２^x・log２）・log２
　＝　２^x・（log２）^2


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

なるほど、log2は定数なんですね!

ありがとうございました(*^^*)

お礼日時：2008/11/22 08:53

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/11/20 21:45

y'=1/(xlog2)

y"={1/(log2)}*(1/x)'
={1/(log2)}(-1/x^2)…(A)
=-1/(x^2log2)

（A)を微分して
y'''={1/(log2)}(2/x^3)
=2/(x^3log2)

y'=(2^x)log2 ←これなら
={e^(xlog2)}log2
y"={e^(xlog2)}*(xlog2)'*log2
={e^(xlog2)}*(log2)*log2
=(2^x)*(log2)^2

なお、
y'=2^(xlog2) ←これなら
=e^{(xlog2)(log2)}=e^{x(log2)^2}
y"=e^{x(log2)^2}*{x(log2)^2}'
=e^{x(log2)^2}*(log2)^2
={2^(xlog2)}*(log2)^2
ですね。

この回答へのお礼

解答ありがとうございました!

お礼日時：2008/11/22 08:54

No.2 回答者： ghiaccio 回答日時： 2008/11/20 21:43

y=1/xの場合のy"は求められますか？

y=1/(xlog2)のlog2はただの係数なので微分しても変わりませんし、
logの中にxが入ってるわけではないので対数の微分は使いません。
y'=(1/log2)(1/x)
y"=(1/log2)(1/x)'
Y"'=(1/log2)(1/x)"
と考えてみてください。

y'=2^xlog2の方もlog2はただの係数なので微分してもそのままです。
y''=(2^xlog2)'
=(2^x)'log2
と考えてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました(*^^*)

お礼日時：2008/11/22 08:55

No.1 回答者： proto 回答日時： 2008/11/20 21:36

log(2)は

　　log(2) = 0.301029996...
という定数です。
ですからlog(2)=aを定数として、
　　y'=1/(ax)
と書き換えられます。
こうしてみると、これは単に1/xを微分する問題の類似であることが分かるでしょう。
y'はただ1/xを1/a倍したものです。

もう一つの微分についても同じ、
　　y' = a*(2^x)
を微分せよと言う問題です。
　　(2^x)' = log(2) * (2^x)
を思い出せば解くことができるでしょう。

この回答へのお礼

log2が定数ということに全く気がつきませんでした!

ありがとうございました(*^^*)

お礼日時：2008/11/22 08:55