不等式の問題

x≧0　y≧0とし、不等式　c(x+y)≧2√(xy)　…(1)を考える。
ただし、cは正の定数である。

(1)ｃ≧1のとき、(1)は常に成り立つことを示せ。
(2)(1)が常に成り立てば、c≧1であることを示せ。
(3)√x+√y≦k√(x+y)が常に成り立つような正の定数kのうちで、最小なものはいくらか。

という問題なんですが、これは相加相乗平均を使えばいいんでしょうか；
さっぱりわからないので教えてください<(_ _)>

No.8 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/04/13 18:29

ＡＮＯ5は間違いだよ。

＞1-(k^2-1)^2≧0　となるため、k^4-2k^2≧0 でした。ですのでk≧√2が判別式による解の存在条件でした

違ってるよ。その計算なら、k≦√2になる。どこが違うって？
判別式≦0が条件。考え方が、反対だよ。

No.7 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/12 23:31

よくよく考えれば誘導にのっても簡単でした

√x+√y≦k√(x+y)
→(√x+√y)^2≦{k√(x+y)}^2
→x+y+2√xy≦k^2(x+y)
→x+y+2√xy≦x+y+(x+y)（∵(2)）≦k^2(x+y)

となるかと

No.6 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/12 21:52

追記

(2)は他の回答者の方は丁寧に解いていますが
c<1の時には
x=yの時にc(x+y)＜x+y＝2√xy
となるのでc<1の時c(x+y)≧2√(xy)を常には満たさない

みたいな感じでもいいかと思います

No.5 回答者： 1tasu1ha5 回答日時： 2009/04/12 21:45

すみません、計算ミスがありました。

（３）の判別式のところから。
ここで√aについての判別式を考える。
1-(k^2-1)^2≧0　となるため、k^4-2k^2≧0 でした。
ですのでk≧√2　が判別式による解の存在条件でした。

ですのでk= √2 が解です。　

No.4 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/12 21:45

相加相乗を使えばいいです

(1)c≧1の時
c(x+y)≧x+y≧2√(xy)なので

(2)(1)と同様に考えればOK

(3)類似問題が東大の過去問にありましたね
コーシー・シュワルツの不等式をうまく使ってください
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …
　

No.3 回答者： 1tasu1ha5 回答日時： 2009/04/12 21:33

全部相加相乗平均で解ける方法もありますけど、発想力が関わってくるからそれ以外の定石も用います。

(1)相加相乗平均よりあきらか。面倒なんで略。

＊ax=y となる正の数aを置く。
(2)
c(x+y)≧2√(xy)　→　c(x+ax)≧2√(ax^2)　→　c(1+a)≧2√a　→　c(1+a)≧2√a　→　ac-2√a+c≧0

ac-2√a+c≧0　を　√aについての判別式で考える。
すると判別式より　　1-c^2≧0 であるため、c≧1 (cは正)
よって、(1)が常に成り立てば、c≧1であることが示された。

(3)
＊ax=y となる正の数aを置く。
√x+√y≦k√(x+y) 　→　1+√a≦k√1+a → a(k^2-1)-2√a -1+k^2
放物線は(k^2-1)が正の時上に凸であるため、1 ≦ k が題意の必要条件である。
ここで√aについての判別式を考える。
すると、1+(k^2-1)^2≧0　となるため、kはすべての実数で解の存在条件を満たすことがわかる。
つまり1 ≦ kを満たすすべての実数がkの条件であるため、
kの最小値は1である。

こんな感じですかね？

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/04/12 21:32

書き込みミス。

（誤）従って、2ab/（a＾2+b＾2）≧1であるから、c≧（2ab）/（a＾2+b＾2）≧1.
（正）従って、2ab/（a＾2+b＾2）≦1であるから、c≧1≧（2ab）/（a＾2+b＾2）.

ついでに、(3)の答えは、k＝√2　だと思うよ。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/04/12 21:24

√x＝a、√y＝bとすると、 a≧0、b≧0.

c(x+y)≧2√(xy)　→　c(a＾2+b＾2)≧2ab。　a＝0、b＝0の場合は別に考えるとして、a＾2＋b＾2≠0　の場合は、c≧（2ab）/（a＾2+b＾2）。‥‥(1)
a≧0、b≧0より、相加平均・相乗平均から、a＾2+b＾2≧2ab　‥‥(2)　等号はa＝bの時。
従って、2ab/（a＾2+b＾2）≧1であるから、c≧（2ab）/（a＾2+b＾2）≧1.

(3)も同じようにすれば解ける。
但し、両辺が正から2乗しても同値だから、（k）＾2≧（a＋b）＾2/（a＋b）。→　（k）＾2≧1＋{（2ab）/（a＾2+b＾2）}となる。

続きは、自分でやって。但し、計算はチェックしてね。