誘電体の境界条件

二つの誘電体ε0とε1について、その境界面に正の真電荷σがある場合は、電束密度によるガウスの法則を考えると、境界条件は
D'dS-DdS=σとできますよね。

私なりの解釈では、境界面に閉曲面をつくり、閉曲面に入ってくる電束密度をD、出て行く電束密度をD'としている。DとD'はそれぞれの誘電体中における電束密度。例えば、Dはε0、D'はε'
→ガウスの法則では入ってくるものにマイナス、出て行くものにプラスをつければ良いのだから、D'dS-DdS=σとなる。
こんな解釈ですけどこれは正しいのですか？？

もし、上の解釈が正しいとすれば、なぜ、ε0側におけるDは閉曲面から「入ってくる」と仮定するのですか？＋σからは上下どちらに対しても電束が出ているので、Dもやはり閉曲面から出て行くと考えられないですか？

イメージとしては↓の感じです。

↓D ε0　なぜDは上向きじゃないのか？
---------------σ
↓D' ε'

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 12:28

ガウスの法則は

∫∫D↑・dＳ↑＝∫∫(D↑・ｎ↑)dＳ　(ｎ↑は面法線ベクトル)

ですよ。

なので符号はＤ↑とｎ↑の方向が同じなら正、逆なら負です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「なので符号はＤ↑とｎ↑の方向が同じなら正、逆なら負です。」←いま私の中で二通りの考えが出て混乱してまして、、

ひとつは、ｎは「外向き」だけを定義していて、単純に入ってくる電束にはマイナスをする。

あるいは、ｎは閉曲面の上下の面のどちらかの「外向き」を正と考えていて、もう一方の閉曲面から電束が出て行く場合でもｎと逆だからマイナスをつける。（この場合は、箱型の閉曲面を考えていて側面の出入りは無視しているので）ただこの考えだと、入ってくる電束に対してはプラスをつけざる終えなくなってしまいます・・。
つまり言い換えると、外を向いてる単位法線ベクトルがnとn'がそれぞれあって、-n=n'として考えて、n方向に出て行く電束にはマイナスをつけて
D'・n'dS+D・ndS=(D'dS-DdS)nとなるってことでしょうか?

どっちなのでしょうか？？？

お礼日時：2009/08/14 13:06

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 13:27

＞ひとつは、ｎは「外向き」だけを定義していて、

こちらです。

一般的には問題は三次元の曲面なのでプラス・マイナス、上向き・下向きでは話はすみません。閉曲面上の各点各点で外向きの法線ベクトルがｎ↑です。したがって、一般にはｎ↑の方向は各点各点で全て異なります。

マイナスをつけるかどうかは、Ｄが絶対値を意味して必ず正の値なのか、
符号を含めたシンボルなのかで対応が変わります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「マイナスをつけるかどうかは、Ｄが絶対値を意味して必ず正の値なのか、
符号を含めたシンボルなのかで対応が変わります。」←がちょっとよくわからないのですが・・。
それでは話を戻して、境界面の真電荷についてです。
正の真電荷σが存在し、外部からの電束の入射がない状況では、電束の発生源は真電荷σのみですよね。
ということは、閉曲面のどの面に対しても、電束は「出て行く方向」だと思うのです。
だとすれば、真電荷がある場合、境界条件は先ほどのガウスの法則より
D'dS+DdS=σとかけてしまうのではないですか？

お礼日時：2009/08/14 13:46

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 14:28

まず、このσという電荷ですが、これが有限の大きさ(一つの極限として点電荷)であるとすると、電場は平行ではありませんから、Ｄ↑・ｎ↑はきちんと

Ｄ↑・ｎ↑＝｜Ｄ↑｜cosθ

として、必要な変数について積分しないといけません。なので、D'dS+DdS=σとはなりません。

次に、これが単位面積あたりσの一様な電荷が平面の境界にあるとすると、ｄＳという底面積を持った平曲面内の電荷はσdSです。

この場合には問題の対称性から、境界の上側はＤが上向きでｎ↑も上向き、境界の下側はＤが下向きでｎ↑も下向きですから、上側を1、下側を2として

Ｄ1ｄＳ＋Ｄ2ｄＳ＝σｄＳ　ゆえに　Ｄ1+Ｄ2＝σが答です。

σが＋電荷ならＤ１が上向き、Ｄ2が下向きなのは自明なのでそれを明示するために上向きをＤの正として絶対値を使うと

|Ｄ1| - |Ｄ2| = |σ|

σが負電荷ならその逆で

-|Ｄ1| + |Ｄ2| = - |σ| 　　→　|Ｄ1| - |Ｄ2| = |σ|

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 14:34

すいません。

後半間違いですね。

＞Ｄ1ｄＳ＋Ｄ2ｄＳ＝σｄＳ　ゆえに　Ｄ1+Ｄ2＝σが答です。

は

｜Ｄ1｜+｜Ｄ2｜＝｜σ｜

の意味でした。すでにσを正として解いているので。

もしσがマイナスであればＤ1が下向きＤ2が上向きになるのでどちらもｎ↑と向きが逆になるので

-｜Ｄ1｜-｜Ｄ2｜＝ -｜σ｜

です。－を払えば一致します。

この回答へのお礼

何度もすみません。
D、D’は垂直成分のつもりで書いてました。ですのでD1とD2と対応すると思います。

ん～・・・つまり、σが正なら
｜Ｄ1｜+｜Ｄ2｜＝｜σ｜（ちなみにσは正と仮定してるので、|σ|は必要ないのでは）なんだけれど、例えば上向きを正とする座標軸を取り入れて、絶対値でなく、ちゃんと方向も考えた表記のバージョンが
Ｄ1-Ｄ2＝σ
になるって解釈で大丈夫ですか？？
理解が悪くてすみません

お礼日時：2009/08/14 15:02

No.5 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 14:59

補足です。

＞←がちょっとよくわからないのですが・・。

Dを常に上向きを正と定義しておくと、σ＞0の場合はＤ2↑は下向きなのでD2 = -|D2|となり、|D1|=D1, |σ|=σなので｜Ｄ1｜+｜Ｄ2｜＝｜σ｜より

Ｄ1－Ｄ2＝σ　　　(☆)

ここでσをマイナスとすると今度はD1=-|D1|、Ｄ2＝|D2|,　σ＝-|σ|なのでこれを代入してみると-|D1|-|D2|=-|σ｜となりNo.4の結果と一致します。つまり、☆の式はこれ一つでσが正負の両方の場合を符号を含めてカバーします。


補足その2

境界面の上下の誘電率が等しい場合は上下が対称になりますから、|Ｄ1｜＝｜Ｄ２｜でこれをＤと書くと｜Ｄ1｜+｜Ｄ2｜＝｜σ｜より

2Ｄ=σ　→　Ｄ＝σ／2

これは基本的な問題なので問題集などにあると思いますので、
結果を確認してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

補足１に関しては理解できました！
つまり、ガウスの法則は、絶対値で考えれば都合が良いということですね？
そうすれば、D1の大きさとD2の大きさをそれぞれ|D1|と|D2|であらわせば、σが正ならば両面から出て行くので、+|D1|+|D2|=σとなり、方向を考えれば、|D1|＝D1で|D2|＝-D2なので、
D1-D2＝σという式が出るということですね。

補足２ですが・・、D1＝-D2になりますよね？
ということはD1の方向を正とすれば、|D1|＝D1、|D2|＝-D1となって、
｜Ｄ1｜+｜Ｄ2｜＝｜σ｜に代入すると
0＝σになってしまうと思いますが・・？
正しくは|2D|＝σ→|D|＝σ/2ではないのですか？

お礼日時：2009/08/14 15:49

No.6 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 15:56

＞|σ|は必要ないのでは

正の量であることを明示するために絶対値をつけてあります。
あとでマイナスの場合と比較することを考慮して。

＞絶対値でなく、ちゃんと方向も考えた表記のバージョンが

そういうことです。電場の方向が1方向のみの場合ですが。

No.7 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/14 16:01

＞補足２ですが・・、D1＝-D2になりますよね？

符号を含めて考えるなら

＞Ｄ1－Ｄ2＝σ　　　(☆)

より、Ｄ1、σ＞０として

Ｄ1－（－Ｄ1）=σ　より　Ｄ1=σ／2。よって、Ｄ２＝－σ／2。

つまりＤ1は上向きにσ／2、Ｄ2はマイナスなので下向きにσ／2です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
おかげで理解できたと思います！

お礼日時：2009/08/15 14:41