点電荷、電位と仕事

物理初学者です。
初歩的かつ図が手書きで見づらく申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

（問題）
図のようにxy平面上にA(-a,0) B(a,0) D(0,-a)に、A,Bには正の点電荷+Q、Dには負の点電荷-Qを置く。
AとDの点電荷を置き換える際に必要な仕事はいくらか。
ただし、クーロンの法則の比例定数をkとし、無限遠点での電位を０とする。


図中のCはこの前の設問で用いられたもので、ここに電荷を置いたりはしないのでこの設問には関わりありません。
自分なりの答えでは

まず、Aの電位V(A)はBの正の点電荷とDの負の点電荷により、

V(A)=(kQ/2a)+(-kQ/√2a)=(1-√2)kQ/2a

次に、Dの電位V(D)はAの正の点電荷とBの正の点電荷により、

V(D)=(kQ/√2a)+(kQ/√2a)=√2kQ/a

以上から仕事とエネルギーの関係より、必要な仕事をWとすれば、

(+Q)V(A) + (-Q)V(D) + W = (-Q)V(A) + (+Q)V(D)

これを解いて　W=(3√2-1)kQ^2/a


と解いたのですが、正答は

（正答）

点 B の電荷による,点 A と点 D の電荷の位置エネルギーに注目する。 点 B の電荷による,点 A と点 D の電位は

V(A)=kQ/2a　　V(D)=kQ/√2a

だから、仕事とエネルギーの関係より　W=(√2-1)kQ^2/a


となっています。



正答では、Bによる電荷しか考慮に入れていないのですが、これは電位の基準をBにとったということでしょうか。
だとすると、無限遠点を基準に取った場合でも最終的な答えは合うはずなのですが、どこが間違っているのかさえわかりません・・・・

長く見づらい質問文ですが、ご教授ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2016/01/07 12:05

作用反作用の法則は関係ありません。

>また、仮にAとDに異なった量の電荷をおいても、やはり計算には組み入れてはいけないのでしょうか。
#1で「この問題では」と書いてないものについては一般論を書いています。


質点A,Bがばねでつながれているとして、ばねが自然長からxだけ伸びた状態で静止しているとしましょう。
この時系全体のエネルギーは
・Ａの位置エネルギーkx^2/2(＝Ｂにつながっているばねの弾性エネルギー)
・Ｂの位置エネルギーkx^2/2(＝Ａにつながっているばねの弾性エネルギー)
の和(=kx^2)には【ならない】という事は理解できますか？

位置エネルギーは各質点に蓄えられているというよりもばねが蓄えていて、
ばねは一つしかないのですから、kx^2/2が系全体のエネルギーになります。

クーロン力の場合には、ばねが場(電場)に変わっただけで話としては同じで、重複して足し合わせることはしないのですが。

類推ではなく、式で納得したいのなら、例えばA,B,Dの順に電荷を無限遠に移動する際の仕事を計算してみて下さい。符号を反転したものが移動前の系の全エネルギーです。

この回答へのお礼

なるほど、電気だと抽象的で分かりにくかったのですが、力学的な観点からアプローチすると理解しやすいですね。
A,B,Dの無限遠点への移動の際の仕事（の符号を反転させたもの）の総和を求めれば、この静止系のエネルギーがわかるということですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/07 18:35

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2016/01/06 10:23

＞(+Q)V(A) + (-Q)V(D) + W = (-Q)V(A) + (+Q)V(D)

この式の左辺(右辺も同じですが)には、「電荷Aが作った電位による電荷Dのエネルギー」と「電荷Dが作った電位による電荷Aのエネルギー」が含まれていますが、言葉を変えているだけで、実際は同じものですので、重複させてはいけません。

また、この問題では多分同じ結果になるのですが、各電荷が感じる電位は他の電荷が作っているので、他の電荷が動けば同然電位も変化します。
従って、電荷の移動後の電位は移動前のものと異なります。ついでに移動してないからといって電荷Bの位置エネルギーが変化してないとも言えません。



正答の考え方でも一般にはAD間の相互作用のエネルギーも考えなければいけません。しかしこの問題では移動の前後でこのエネルギーに変化がないのは明らかですので、考える必要がありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
『「電荷Aが作った電位による電荷Dのエネルギー」と「電荷Dが作った電位による電荷Aのエネルギー」が含まれていますが、言葉を変えているだけで、実際は同じものです』とありますが、これは作用反作用の法則ということでしょうか。
また、仮にAとDに異なった量の電荷をおいても、やはり計算には組み入れてはいけないのでしょうか。
物分りが悪く、申し訳ありません。

お礼日時：2016/01/06 14:03