光の波長による屈折率の違いについて

初歩的な質問ですみません。
レンズの色収差などでよく耳にしますが
質問は何故、波長によって屈折率の違いが起きるのかということです。
例えばレンズに光が入った時、青色の波長の光と赤色の波長の光とでは
青色の方が屈折率が大きいですよね。
それを証明する方法を教えていただければと思いまして

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#11476 回答日時： 2001/03/15 19:29

補足読みました。

そうですね。siegmundさんも詳しく書かれていますので、単純にしたわかりやすい例で説明してみましょうか。

５０円玉と糸を用意して下さい。
その５０円玉に糸を結んで振り子をつくります。（長さは適当に試して下さい）
糸の端をもって左右に振ります。このとき振る巾はせいぜい３～４ｃｍ位がいいでしょう。
初めはゆっくりと、そしてだんだん早く動かしていくと、自分の手の振りよりだんだん５０円玉の方が振りが大きくなることがわかります。
手の振る巾は変わらないのに一番振りが大きくなるところが共鳴している周波数です。
そして、更に早く動かすと今度はまた振りが小さくなります。

このとき注目して欲しいのは手の動きと５０円玉の動きの関係です。共鳴するスピードからずれてくると、動きも一致しなくなります。
（うまく動かすと手の動きと正反対になります）
これが、位相がずれてくると言うことであり、物質内の分極と外からの電場の位相も同じことで一致しなくなるわけです。
ここで、手の動きは外からの電場の振動（要するに光の振動数＝色）であり、５０円玉は物質内の分極でありこれもまた光となって出ていきます。

この位相のずれの量を屈折率という数字で表していると考えられるとわかりやすいかと思います。
共鳴周波数からずれた振動数で振動させると位相がずれるという現象は、物理ではかなり基本的なもので、光に関わらず電気回路でもその他の現象でも沢山見られる基本的な現象なんですね。
また、共鳴周波数からある程度まではこの位相がずれた光と元の光が混ざり合って全体として位相がずれますが、更に遠くなると（振り子を手でものすごい速度で振動させると５０円玉が振動しないのと同じです）今度は振動しなくなるので、位相のずれもなくなる（屈折率が１に近づく）わけです。

ガラスの場合はそのほとんどが紫外光の領域に共鳴周波数があるので、ご質問のような赤より青の方が屈折率が大きいということになったわけです。

では。

この回答へのお礼

かなりかみくだいて説明していただいてありがとうございました。
siegmundさんも丁寧な説明ありがとうございました。
だいたいは分かった感じです。この問題は簡単な数式で説明がつく
ものなのかと思っていましたが、そうではないということで
しょうか？　今ちょっと忙しいのでまた後でじっくり
お二人の説明を読み直してみたいと思います。

お礼日時：2001/03/16 00:40

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/03/15 18:22

> それを証明する方法...

実験的証拠という意味ですか？
それなら，プリズムで太陽光が分光できる，などどうでしょう．
波長によって(すなわち，色によって)屈折率が違うから，
いろいろな波長の混ざっている太陽光が分光できて虹のように見えるのです．

それとも，「何故、波長によって屈折率の違いが起きるのか」
という物理的理由でしょうか？

光は電磁波の一種ですので，光が物質中に入りますと，
物質中に光の周波数と同じ周波数の電場が現れます．
物質中には正電荷や負電荷を持ったものがたくさんありますから，
電場が現れるとそれらは電場の方向あるいは逆方向に動きます．
つまり，正電荷や負電荷の位置がずれます．
そうすると，その効果によって新たに電場ができます．
実際は，これらがつじつまが合うように位置のずれと変化した電場が決まります．
こういう効果を現す量が誘電率εです．
で，真空中に比べて電場が変化しますから，それが電磁波の速度ｖに影響し，
さらに屈折率ｎに変化を与えます．
√ε∝(1/v)∝ｎ
の関係があります．
強磁性体ですと透磁率μの影響もありますが，
今は強磁性体でない(μ≒1)としています．

波の速度が境界面で異なると屈折する話はホイヘンスの原理の応用で
よくテキストに載っていますね．
ここでは図が書けないので，ちょっと説明ができません．

それでは，周波数によってなぜｎが違うのでしょうか．
光にによる電場は光の周波数と同じ周波数を持っています．
すなわち，１秒間に周波数回だけ電場の方向が変化します．
そうすると，正電荷や負電荷の位置のずれも同じ回数だけ行ったり戻ったり
しないといけません．
正電荷や負電荷には質量があるので慣性がありますので，
周波数が高くなるとついていけなくなります．
また，物質の構成要素にいろいろな固有振動数がありますので，
固有振動数に近くなると振幅が大きくなる，という効果もあります．
ここらへんは mickjey2 さんが詳しく書かれています．
こういうわけで，εの周波数依存性は単調な変化ではなくて
かなり複雑な様相を示します．

詳しくやると，大学の物理学科３年くらいの講義で数回分になってしまいますし，
固体の量子論観点から議論すると，大学院の講義になってしまいます．

No.1 回答者： noname#11476 回答日時： 2001/03/15 16:41

現実の物質はなかなか複雑なのですが、最も基本的な考え方について説明したいと思います。

物質の原子なり分子に光が当たると、その光の電場で振動が起きます。
この原子なり分子なりを簡単に電気双極子（電荷ｅが＋と－が両端にある一つの棒）で表します。
この双極子にはその質量などから、共鳴する周波数ω０があり、そこでは光の吸収は最大になります。
（ここでは計算は省略しますが、電気双極子モーメントの計算は沢山の本にのっているので探してみて下さい）

で、この共鳴周波数から少しずれた周波数の光をいれてあげると、この双極子から出てくる光は元の光と位相がずれて出ていきます。
この光は結局もとの光と合成されて、外に出て行くわけですが、この双極子がないときよりも位相がずれてしまいます。
これが屈折率の源です。

で、式を解いていくと結局、屈折率はω＝ω０のときにはｎ＝１でそこからはずれると長波長側は一度大きくなった後、やがて小さくなり、最後に１に向かっていくという特性が導かれます。
波長による物質の分散が得られるわけです。

現実の物質は単純な電気双極子モーメントでは表せないので簡単には答は出せません。
ただ、通常ガラスは紫外のところに強い吸収を持っています。そのためその紫外域の吸収から遠い赤色の方が屈折率が低くなります。

ガラスでもたとえば吸収端が非常に短波長にある、真空紫外まで光が透過するＭｇＦ２、ＣａＦ２などは同じ青のところでの屈折率を見るとＢＫ７のような紫外にすぐ吸収のある材料よりも屈折率は小さくなります。

では。

この回答への補足

mickjey2さん　丁寧な解説ありがとうございました。
ただ、自分にはちょっとレベルが高いかな　という
感じでした。せっかく丁寧に解説していただいたのに
申し訳ありませんでした。
質問で、証明なんて言葉を使ってしまったのが良くなかった
のですね。私としては、物理法則（例えばホイヘンスの原理）
を使って簡単に説明できるものであればいいかな　と思って
います。

補足日時：2001/03/15 17:19