分散と標準偏差

ある母集団の平均がμ、分散がσ^2、標準偏差がσと分かっているとします。
このとき、母集団からn個抜き出したときの合計値を求める処理を
繰り返したときの平均μ'、分散σ^2'、標準偏差はσ'について知りたいです。
以前お聞きしたときに、nが大きければ
μ'＝μ×n
σ^2'＝σ^2×n
σ'＝σ×√n
だという回答があったのですが、
nがどれくらい大きければこのような結果になるのでしょうか？
10個ではだめですか？
また、平均はｎ倍にすればいいのはなんとなく分かるのですが、
分散もｎ倍でいい理由が分かりません。
お教えください。

何卒よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/08/27 22:23

期待値という考えはご存知ですね。

変数Xがxiになる確率をpiとすると
E[X]=Σxipi（但しΣpi=1)...(1)
にあたるものでこれは平均値です。xiのところが関数になっていると
E[g(X)]=Σg(xi)pi...(2)
です。標準偏差については、
σ^2=E[(X-m)^2](mは平均値）...(3)
です。具体的に書けば
σ^2=Σ{(X-m)^2}(pi)（但しpiはX=xiとなる確率）
となります。この(3)は展開すれば
E[(X-m)^2]=E[X^2-2mX+m^2}=E[X^2]-2mE[X]+m^2
=E[X^2]-2m^2+m^2=E[X^2]-m^2...(4)
になることはE[X]の性質から明らかと思います。E[X]=mですし、E[X^2]=Σ(xi^2)piです。
母平均m、母分散σ^2から大きさnの標本(X1, X2, X3,...Xn)をとったとします。標本の合計はX=X1+X2+...+Xnですが、Xの期待値、Xの関数（具体的には分散）を考えて見ましょう。
E[X]=E[X1+X2+...+Xn]=E[X1]+E[X2]+...+E[Xn]=nm...(5)
は明らかですね。
σ^2(X)=σ^2(X1+X2+...+Xn)...(6)
はこのままでは面倒なのでまずn=2について示します。
σ^2(X)=σ^2(X1+X2)=E[(X1+X2-2m)^2]=E[{(X1-m)+(X2-m)}^2]
=E[(X1-m)^2]+2E[(X1-m)(X2-m)]+E[(X2-m)^2]...(7)
(7)でX1とX2が互いに独立であれば(独立の変数の定義はE[XY]=E[X]E[Y])E[X1]=E[X2]=mを考慮して
E[(X1-m)(X2-m)]=E[X1X2]-mE[X1]-mE[X2]+m^2=E[X1]E[X2]-m^2=0
となります。よって(7)は
σ^2(X)=E[(X1-m)^2]+E[(X2-m)^2]=σ^2(X1)+σ^2(X2)...(7)'
これをつかえば一般のnにも拡張できて(6)は
σ^2(X)=σ^2(X1+X2+...+Xn)=σ^2(X1)+σ^2(X2)+...+σ^2(Xn)
=nσ^2...(8)
になります。何故ならX1, X2,...Xnは同じ母集合からのサンプリングだからです。
証明を見れば明らかなようにnは幾つでもO.K.です。

”数が多ければ、”の意味は10個のサンプルの合計値を3回とって、その3つの値の平均と分散を出した時、それらの値が正確に母集合の平均の10倍と分散の10倍になるとは限らないということです。10個のサンプリングを繰り返しやれば間違いなく平均値も分散も10倍に近づいて行きます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
こんなに複雑だとは・・・絶句です・・・
分散がn倍になる理由も分かりました。
10個のサンプルの合計値を出す処理を繰返し、
平均と分散を出す時と、
100個のサンプルの合計値を出す処理を繰返し、
平均と分散を出す時について、
繰り返す数が両方とも多ければ、
10個の場合は10μ、10σ^2、
100個の場合は100μ、100σ^2　となるということですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/08/28 10:16

No.1 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/08/27 21:53

前提条件は、各標本が独立に抜き出されていることです。

まず平均：μ'
＝Ｅ［Ｘ1＋Ｘ2＋・・・＋Ｘn］
＝Ｅ［Ｘ1］＋Ｅ［Ｘ2］＋・・・＋Ｅ［Ｘn］
＝μ×n
（nの大きさに無関係です！）
分散：σ^2'
＝Ｖ［Ｘ1＋Ｘ2＋・・・＋Ｘn］
＝Ｅ［(Ｘ1＋Ｘ2＋・・・＋Ｘn－nμ)^2］
＝Ｅ［{(Ｘ1－μ)＋(Ｘ2－μ)＋・・・＋(Ｘn－μ)}^2］
標本ＸiとＸjが独立ならば、Ｅ［(Ｘi－μ)・(Ｘｊ－μ)］＝０
を考慮して、
σ^2'＝Ｅ［(Ｘ1－μ)^2］＋・・・＋Ｅ［(Ｘn－μ)^2］
＝σ^2×n
ここでも、nの大きさに無関係に成立します。
したがって、ｎは２でも１０でも可です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
＞＞標本ＸiとＸjが独立ならば、Ｅ［(Ｘi－μ)・(Ｘｊ－μ)］＝０
とありますが、
"標本を独立にする"というのはどういうことなのでしょうか？
現在数万個の中からランダムに10個抜取ろうとしていますが、
これは独立な標本が得られているのでしょうか？
平均、分散ともにn倍になるということは分かりました。

お礼日時：2009/08/28 09:24