【数学が得意な方】幾何でわからない問題があります！【余弦定理】

△ABCの三辺がa:b:c=2:3:4のとき、cosA:cosB:cosCを求めよ。
という問題です。

余弦定理を使うらしいのですが、代入してもその後がわかりません
具体的な解法をお願いします＞＜

得意な方、回答をお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： remonpakira 回答日時： 2009/11/24 01:36

まず、

一般例として
cosx＝1/5=10/50

ですよね？ですので、辺の比さえわかればcosは出るはず、だから
問題を見た段階で必ず答えは得ることができるという実感が必要です。

そして、この問題を解くためにとても大切な『定石』が１つあります。
定石というものはたとえ、東大の理IIIに合格するような人でもなかなか
思いつかないようなものですので

『定石は暗記し、かつ使いこなせるほど練習する必要があります』
もし
例えばa=2cm、b=3cm、c=4cm　と具体的な数字なら簡単ですよね。
今回難しいのは比で表現されていて、具体的な数値でないからです。
ですので比を具体的な値に直します。

任意の実数kを使ってa=2k、b=3k、c=4kとします。←定石

これで比ではなくkという文字を使ってはいますが具体的な
数字になりました。
あとは通常の余弦定理で
cosA=(21k^2/24k^2)=7/8です。
kは消えてくれます。
この比をkを使って実数にする定石は『そんなの思いつかないよー！』で
はなく『知ってるよ』と解かないといけません。
（普通は思いつくようなものではないので）
実は考え方、定石は比例式のところで既に習っています。
今回は比例式の技法を余弦定理に応用した、ちょっとした応用問題です。
もし、今回の考え方がちょっと不安があるならば比例式から復習
しなおすと良いですよ

No.2 回答者： FGLPQR 回答日時： 2009/11/24 01:10

a=2k、b=3k、c=4kとします。

（kは実数）
余弦定理の式
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
に、先ほどのabcをそれぞれ代入します。
そうすると、cosA=(21k^2/24k^2)=7/8となります。
同様に、cosBとcosCも算出し、比をとればOKです。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/11/24 01:05

a=2t,b=3t,c=4tとおいて

余弦定理を使って求まります。
(t^2が分子・分母から括れ約分すればtはなくなります。）

例えば
a=2t,b=3t,c=4tとおいて
cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2bc)=(16+9-4)/(2*3*4)=7/8

cosB,cosCも余弦定理を使えば同様にもとまります。