証明問題

経済学部の大学生です。
宿題をだされたんですが、どうしても１問解けなくて困ってます。

集合Ａ，Ｂについて
＿　＿
Ａ⊂ＢならばＢ⊂Ａとなることを示しなさい。

どなたかわかる人がいましたら、助けてもらえませんか？？？

No.1 回答者： k92n3 回答日時： 2009/12/11 17:48

べんずを描けば終了です

先にＢ⊂Ａのべんずをかけば、いいのかと

この回答へのお礼

いい忘れてたんですが、べんずでの証明は禁止されてて。。。

ありがとうございます！！

お礼日時：2009/12/11 20:23

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/11 18:21

形式的には、

「補集合A ⊂ 補集合B」
≡「∀x, x∈補集合A ⇒ x∈補集合B」
≡「∀x, x∈Aでない ⇒x∈Bでない」
≡「∀x, x∈B ⇒ x∈A」(対偶)
≡「B ⊂ A」
でしょうか。

この回答へのお礼

なるほどです！
ありがとうございます！！

お礼日時：2009/12/11 20:21

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2009/12/11 18:32

定義より、全集合をＸとすると

＿　　
Ａ＝Ｘ － Ａ
＿
Ｂ＝Ｘ － Ｂ
＿　＿
Ａ⊂Ｂ　より
Ｘ － Ａ　⊂　Ｘ － Ｂ

両辺に（-Ｘ)を加える。=Xを引く（両辺に同じものを加えても変わらない)
Ｘ － Ａ ＋ (-Ｘ)　⊂　Ｘ － Ｂ ＋ (-Ｘ)
－ Ａ　⊂　－ Ｂ

両辺にＡ＋Ｂを加える。（両辺に同じものを加えても変わらない)
－ Ａ ＋ Ａ＋Ｂ　⊂　－ Ｂ ＋ Ａ＋Ｂ

Ｂ　⊂　Ａ

使うもの
全集合からある集合を引いたものは補集合である。
両辺に同じものを加えても関係は変わらない。

この回答へのお礼

すっごいわかりやすいです！
あえうがとうございます！！

お礼日時：2009/12/11 20:20

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/11 21:30

＃３の回答は分かりやすいかもしれませんが・・・

集合演算の＋、－は二項演算子であって、単項演算子ではありません。

「＋A」「－X」のような使い方はできません。
（＋の代わりに∪を使って、「∪A」と書くと理解できるとか思います）
そもそも「－A」、「－X」がどんな集合か説明できますか？

また、
Ｘ － Ａ ＋ (-Ｘ)＝－Ａ
としていますが、もしこれが　（Ｘ－Ａ）－Ｘ　のことであれば、
（Ｘ－Ａ）－Ｘ＝φ
です。

集合演算子と数値の演算子とを混同しないいように。

No.5 回答者： zk43 回答日時： 2009/12/11 22:19

任意のx∈Bをとる。

xはBの補集合には入っていない
⇒仮定からxはAの補集合には入っていない
⇒xはAに入っている
よってB⊂A