No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちわ。
これはまず、f∈L^1(R^n)に対して、f^{^}(ξ)=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
とフーリエ変換が定義されます。
ここでは便宜上、f^{^}をfのフーリエ変換とします。
(普通はfの上に^が付きます。さらにL^1(R^n)はR^n上可積分関数の空間とします。)
いま、fが偶関数であることから
f(x)=f(-x)
が成り立ちます。そこで、
f^{^}(ξ)
=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{-∞→0} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{∞→0} f(-x)e^{-2πi(-x)ξ} (-dx)
(∵x=-xと置いて変数変換します。)
=∫{0→∞} f(x)*[e^{-2πixξ}+e^{2πixξ}] dx
(∵fが偶関数だからまとめられる。)
=2∫{0→∞} f(x)*cos(2πixξ) dx
(∵e^{±2πixξ}=cos(2πixξ)±i*sin(2πixξ))
以上から、虚数成分の計算は必要ないことが分かります。
またfが奇関数なら実数成分の計算が必要ありません。
それでは頑張って下さい。
No.4
- 回答日時:
間違いました
No.2の回答でいいのですが
関数を科積分関数に限定すると
当然フーリエ変換できないといけないcos(ω0・t)のフーリエ変換ができず工学では利用できないので超関数で考えましょう
cos(ω0・t)がフーリエ積分できないと振幅変調の理論が説明しにくいのです
cos(2・π・f0・t)のフーリエ変換結果は
(δ(f-f0)+δ(f+f0))/2です
ただし
X(f)≡∫(-∞<t<∞)dt・x(t)・exp(-2・π・f・t)
の定義を使いました
No.3
- 回答日時:
No.2の回答でいいのですが
関数を科積分関数に限定すると
当然フーリエ変換できないといけないcos(ω・t)のフーリエ変換ができず工学では利用できないので超関数で考えましょう
cos(ω・t)がフーリエ積分できないと振幅変調の理論が説明しにくいのです
cos(2・π・f・t)のフーリエ変換結果はδ(t)です
ただし
X(f)≡∫(-∞<t<∞)dt・x(t)・exp(-2・π・f・t)
の定義を使いました
No.1
- 回答日時:
雑な言い方で良ければ
e^iθ=cosθ+i・sinθ
より,
虚部は奇関数なので,(e^-iθの時も同様)
(元の)偶関数×奇関数を積分すると対称性から消えるからでは?
なお,θ=k・x などですが,xの積分でもkの積分でも事情は同じですね.
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