この問題のように積分変数でない文字は定数とみなすのはなぜですか？

この問題のように積分変数でない文字は定数とみなすのはなぜですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/24 14:13

oshiete.goo.ne.jp/qa/13509525.html の

＞ 積分定数でない文字は定数とみなせる
ではなく、
「積分変数でない文字は定数とみなす」ことの質問なんですね？

文字を見たときに、それが変数か定数かふたつにひとつで区別しよう
というのは、初学者にありがちな勘違いです。
中学高校での教え方がいけないのかな？

本当の意味での定数というのも、π = 3.1415... とか e = 2.71828... とか
いくつかありますが、平素我々が変数とか定数とか呼んでいるものの多くは
その時値を変化させて考えている変数と値を固定して扱っている変数の
違いでしかありません。

例えば、関数 f(x) = x^2 - ax + 1 の最小値 m(a) を a の関数と考えて...
なんて問題は、学校の教科書にもありますよね。
このとき a は定数ですか？ 変数ですか？ 途中で変わりますよね。
このように、ある文字が変数であるか定数であるかを考えるのではなく、
どの考察の範囲でその変数の値を動かしているか固定してるかを意識する
ことが必要なんです。

その意味で、そもそも「変数」とか「定数」とかいう言葉自体が誤解のもと
なのかもしれません。

さて、その考え方で質問の例を見てみると、
F(x) = ∫[0,x] (x - t)(sin t)dt の右辺で
t は 0 ≦ t ≦ x の範囲での変化を考えなければ積分が計算できませんが、
ある x の値に対する F(x) を計算する間、x は固定しているわけです。
途中で x の値を変えたら、F(何) を計算してるのか判らなくなりますからね。

しかし、積分計算を終えて値を得てみれば、その値は x に応じて決まるので
x を変数とする関数 F(x) と見ることができます。こんどは x を動かすわけです。
この辺の事情は、上記の m(a) の話とよく似ています。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/24 14:11

昨日も 同じ趣旨の質問をしていますね。

t で積分してますから、x は とりあえず 定数として 計算します。
但し x と t は 独立した 変数である必要があります。
積分定数とは 意味が違います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/24 11:32

積分変数 t と変数 x の関係によります。

もし、「x は t の関数：x(t)」であったら定数とはみなせません。

「x は t の関数ではない」「t と x は独立である」という条件があれば、「変数 t で積分する」「変数 t で微分する」ときに x は定数とみなしてよいです。
x が t の関数でなければ
　dx/dt = 0
ですから。（t が変化しても x は変化しない）

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/24 10:07

この問題の場合は

積分変数tが変化しても
積分変数tでない文字xは変化しないから
xは定数