お願いします

1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)を求めるについて

Sn=1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)
Snにｘをかけると

xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
になる？のかがわかりません。
x＋3x＾2まではわかるのですが

それから、
Sn-xSnは
(1-x)Sn=1＋2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）-(2n-1)X＾n
…(1)
になるそうですが、
xキ1のとき

(1)から

Sn=1＋2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）-(2n-1)X＾n/(1-x)

から
1＋x-(2n＋1)x＾n＋(2n-1)X＾(n＋1)/(1-x)＾2
になる方法がわかりません

そして
x=1のとき
(1)から
Sn=1＋3＋…＋(2n-1)=n＾2
のときに1＋3まではわかるのですが
(2n-1)がわかりません。
そして、計算するとn＾2
になるのかが？？？
すいません。
詳しくお願いします

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2003/06/03 19:21

補足を見た感じでは、どうやら文字で置く、ってのがいまいち理解し難いみたいですね。

Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
右辺の"＋"の部分は無視して、
1,3x,5x^2,7x^3,9x^4,・・・,(2n-3)x^2(n-2),(2n-1)x^(n-1)
という風に並べてみましょう。
この数列のｎ番目がいくつになるかを考えてみましょう。
結論から言うと、ｎ番目は(2n-1)x^(n-1)になります。
もの凄く簡単に説明すると、１番目が"1",2番目が"3x",3番目が"5x^2",4番目が"7x^3",・・・という感じで考えていくと、ｎ番目は(2n-1)x^(n-1)になるのです。

たぶん、この"ｎ番目"ってのがいまいち分からないのでしょう。
「１番目は1」
「２番目は3x」
「３番目は5x^2」
「４番目は7x^3」
「５番目は・・・
と言っていたら、きりがありません。

何ならかの規則性があるのだから、
○番目の数はいくつだろうなぁ、と思ったら、
何かの式に○を代入しただけで、○番目の数が求まったら便利だなぁ。でも、数学なのに、○とか使ってたら、カッコ悪いなぁ。
と、いうことで、
ｎ番目の数を"ｎの式"で表すことにしました。
で、求まったのが、
(2n-1)x^(n-1)
確かに、n=1,2,3,4を代入すると、1,3x,5x^2,7x^3となります。

＞後ろの項の意味というか考えかたがわかりません。
別に難しく考える必要はありません。
(2n-1)x^(n-1)
のnには何かの自然数を代入するのだから、
例えば、3x^2とか、x^6とか、2x^3など、そういうのと、同じ様に考えればいいのです。

ただ、最後の項は何も意味してないわけではなく、
(2k-1)x^(k-1)にいくつを代入すると、(2n-1)x^(n-1)になるかというと、k=nを代入した時です。
ということは、最後の項はｎ番目の項。つまりは、全部でｎ項足している、ということも意味してます。

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/06/02 22:40

＃３fushigichanです。

＞xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
になる？のかがわかりません。

えっと、まず、一番最初のSnというのが、

Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)

なので、（奇数）×xの○乗
という形の和になっていますよね。
1*x^0+3*x+5*x^2・・・
と言う風に、xの係数が、1,3,5,7,・・・と奇数で大きくなっていっています。

xの０乗の係数は１
xの係数は３
xの２乗の係数は５
xの３乗の係数は７

・・・・
xの(n-2)乗の係数は(2n-3)
xの(n-1)乗の係数は(2n-1)
----------------------------全部足すと
Sn　になっている

のようになっていることに注意してください。
Snというのは、それぞれを足した数列ですよね。

では、そのSnをx倍してみると、
定数項はなくなり、
xの係数が１
xの２乗の係数が３
xの３乗の係数が５

・・・・・
xの(n-1)乗の係数が(2n-3)
xのn乗の係数が(2n-1)
---------------------------全部足すと
xSn　になっている


となりますね。だから、最後のほうで
・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n

という部分が出てくるんですね。
ここのところ、自分で紙に書いてみると、なるほど、と
分かりやすいと思います。
頑張ってくださいね！！

この回答への補足

なんどもすいません。
言っているとき方はわかります。
ただ文字式が苦手で。

解き方でも一般項の求め方がわかりません。
例えば
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)

係数は1,3,5,7と２つずつ増えているのはわかります。
しかし、
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
にある、後ろの項の意味というか考えかたがわかりません。
どうやって、わかるのですか？
話が通じるといいのですが。
後ろの
+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
がわからないです。
数字だけだとわかるのですが。

補足日時：2003/06/03 15:53

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/06/02 18:33

kami245さん、こんにちは。

＞Sn=1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)
Snにｘをかけると
xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n

Sn=1+3x+5x^2+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
xSn=　x+3x^2+・・・・・・・・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
----------------------------------------------------------上から下を引く
(1-x)Sn=1+2x+2x^2+・・・・・・・+2x^(n-1)-(2n-1)x^n・・・(1)

となります。xの次数を同じにするため、一つずつ、ずらして書いています。
すると、上から下をみてみると、x,x^2,x^3・・・の係数はどれも２づつ差がありますね。

1-x≠0のとき、

また、(1)は途中まで等比数列の和になっています。
2x+・・+2x^(n-1)の部分までです。
ここは、
初項2x、公比x、項数n-1個の等比数列の和なので
2x{1-x^(n-1)}/(1-x)

最後に1-(2n-1)x^nだけが残るので、
(1-x)Sn=1 +2x{1-x^(n-1)}/(1-x) -(2n-1)x^n

両辺を(1-x)で割ると
Sn=1/(1-x) +2x{1-x^(n-1)}/(1-x)^2 -(2n-1)x^n/(1-x)
分母を、(1-x)^2に統一しましょう。

分子={1/(1-x)^2}×{(1-x)+2x{1-x^(n-1)}-(2n-1)x^n(1-x)}
=1+x-2x^n-(2n-1)x^n-(2n-1)x^(n+1)
=1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)

Sn={1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)}/(1-x)^2

じゃないでしょうか。

1-x=0のとき、x=1ですから

Sn=1+3+5+・・+(2n-1)
　　　↑
奇数のn個の和

奇数はa[k]=2k-1
とかけるので、

Sn=Σ[k=1to n](2k-1)
=Σ2k-Σ1
=n(n+1) -n=n^2+n-n=n^2

となります。ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

この回答への補足

詳しくありがとうございます
xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
になる？のかがわかりません。

補足日時：2003/06/02 21:28

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/06/02 18:06

回答はすでに出ていますけど、参考程度に

＞Sn=1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)
Snにｘをかけると
xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n
になる？のかがわかりません。

☆これはわからなくていいんです。誤記ですから。
正しくは
xSn=x＋3x＾2…＋(2n-3)x＾(n-1)＋(2n-1)x＾n

＞Sn={1＋2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）-(2n-1)x＾n}/(1-x)
から
1＋x-(2n＋1)x＾n＋(2n-1)x＾(n＋1)/(1-x)＾2
になる方法がわかりません

1/(1-x)=1＋x＋x＾2＋…＋x＾(n-1)+x＾n
という関係式を使えば、
{2＋2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)}={2/(1-x)}-1-2x＾n
{{2/(1-x)}-1-2X＾n}/(1-x)={2-(1+2x＾n)(1-x)}/(1-x)＾2
={1+x-2x＾n+2x＾n+1}/(1-x)＾2
Sn={1+x-2x＾n+2x＾n+1}/(1-x)＾2 -{(2n-1)x＾n}/(1-x)
={{1+x-2x＾n+2x＾n+1} -(1-x){(2n-1)x＾n}}/(1-x)＾2
={1＋x-(2n＋1)x＾n＋(2n-1)x＾(n＋1)}/(1-x)＾2
になりますね。

Sn=1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)
にx=1 を入れると、
Sn=1＋3*1＋5*1＾2＋…＋(2n-1)*1＾(n-1)
Sn=1＋3＋…＋(2n-1)
これは奇数の足し算ですね。
1+3+5=9=3＾2
1+3+5+7=16=4＾2
1＋3＋…＋(2n-1)=n＾2

ということでしょうかね。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2003/06/02 18:01

＞xをかけると(2n-3)n＾(n-1)＋(2n-1)X＾n

＞になる？のかがわかりません。
おそらく、難しく考えすぎてるのでしょう。
a[n]=(2n-1)x^(n-1)とすると、x*a[n]=(2n-1)x^nとなるのは分かりますね?

Sn
=1＋3x＋5x＾2＋…＋(2n-1)x＾(n-1)
=Σ[k=1 to n]a[n]
となるから、
x*Sn
=x*Σ[k=1 to n]a[n]
=Σ[k=1 to n]{x*a[n]}
=Σ[k=1 to n]{(2k-1)x^k}
=x+3x^2+5x^3+・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
となります。

＞1＋x-(2n＋1)x＾n＋(2n-1)X＾(n＋1)/(1-x)＾2
＞になる方法がわかりません
(1)から、
(1-x)Sn=1＋2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）-(2n-1)X＾n
という式が出ました。この右辺の
2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）
の部分だけに注目すると、これは、初項が2xで、公比がxの等比数列ですね。全部でn-1項足してて、公比x≠1だから、
2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）
=2x{1-x^n}/(1-x)
となります。だから、(1)の式を変形すると、
(1-x)Sn
=1+{2x＋2x＾2＋…＋（2x＾(n-1)）}-(2n-1)x^n
=1+{2x(1-x^n)/(1-x)}-(2n-1)x^n
∴(1-x)Sn=1+[2x{1-x^(n-1)}/(1-x)]-(2n-1)x^n
両辺を1-x≠0で割ると
Sn={1/(1-x)}+[2x{1-x^(n-1)}/(1-x)^2]-{(2n-1)x^n/(1-x)}
右辺を(1-x)^2で通分すると、
Sn={1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)}/(1-x)^2
となります。

＞(2n-1)がわかりません。
先ほど、a[n]=(2n-1)x^nとおきました。
x=1だから、a[n]=(2n-1)1^n=2n-1
となります。
n^2になる理由ですが、
1+3+5+・・・+2n-1とｎ個の奇数を足すと、n^2になることを知っていれば、それでいいのですが、それを知らなくても、

Sn
=Σ[k=1 to n]a[k]
=Σ[k=1 to n](2k-1)
=2Σ[k=1 to n]k-Σ[k=1 to n]1
を計算すれば、n^2が求まります。

この回答への補足

ありがとうございます
＜a[n]=(2n-1)x^(n-1)とすると、x*a[n]=(2n-1)x^nとなるのは分かりますね?

わかりません。。

補足日時：2003/06/02 21:26