No.3ベストアンサー
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鈍角三角形では三角形の「外部」、鋭角三角形では三角形の「内部」
と考えて。
外心
△ABC の外心をOとする。
1.∠Aが鈍角の鈍角三角形
円周角の定理より、∠A>90°なので、中心角∠BO C >180°
よって、点Aを含む方の弧BCの長さ<点Aを含まない方の弧BC
となるので、点Oは△ABC の外部にある。
2.∠A=90°の直角三角形
円周角の定理より、∠BO C =180°。つまり、点Oは辺BC 上
にある。
3.鋭角三角形
円周角の定理より、∠A<90°なので、中心角∠BO C <180°
よって、点Aを含む方の弧BC の長さ>点Aを含まない方の弧BC
となるので、点Oは△ABC の内部にある。
垂心
1.∠Aが鈍角の鈍角三角形
点Bから直線AC に垂線BPを引いたとき、Pが線分AC 上に
あるとすれば、∠BPC =∠BAP+∠ABP>∠BAP、
つまり、∠BPC >90°となるので、垂線BPであることに矛盾
よって、垂線BPは△ABC の外部にあり、同様に、C から直線
ABに引いた垂線も△ABC の外部にあり、これらの交点である
垂心は△ABC の外部にある。
2.∠A=90°の直角三角形
点Aが垂心であるのは明らか。よって、垂心は△ABC の周上に
ある。
3.鋭角三角形
点Aから直線BC に垂線APを引く。
点Pが線分BC の外にあるとすれば、
∠APB<∠ABC <90°、または、∠APC <∠AC B<90°
となるので、垂線APに矛盾する。よって、点Pは線分BC上に
あり、垂線APは△ABC の内部にある。
同様に、Bから直線AC に垂線BQを引けば、点Qは線分AC 上
にあり、垂線BQは△ABC の内部にある。
BAは線分APとAで交わり、BC は線分APとPで交わるので
線分AC 上にある点QとBを結んだBQは線分APと1点で交わる。
この交点(線分AP上の点)が垂心なので、垂心は△ABC の内部
にある。
という説明ではどうでしょうか。
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