大学入試（熊本大学） 対称性の利用について

大学入試（熊本大学）　対称性の利用について

　以下の問題について

　１辺の長さが１の正五角形において、５本の対角線
　を引いたときにできる小さな正五角形の１辺の長さ
　を求めよ。
　（図を描くことができなくて申し訳ございません。）

　私がよくわかっていないのは、この問題に対する答えと
　いうよりも、小さな五角形が「対称性により」正五角形
　になるというところで、この「対称性により」正五角形
　になる点で高校入試の問題（確か早稲田実業だったかな？）
　に、同じくこの文言で解答が書かれてありました。

　この「対称性により」という「対称性」とは、何を以て
　そのような使い方をしているのでしょうか？
　（例えば、「～に関する点対称」とか・・・）

　数学の問題の模範解答に、この「対称性により」という言葉で
　さらりと進んでしまうケースが多く、（理解できていない私が
　悪いのはよくわかっているのですが）いつも「またこれか・・・」
　という感じです。

　このような場に質問する内容でないかもしれませんが、アドバイス
　いただけると大変助かります。

　お忙しい中、お手数お掛けいたしますが、よろしくお願いします。
　
　
　
　

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/09 19:34

この場合、「対称性」とは、五回対称性のこと。

360/5 度の回転でピッタリ重なるということです。
外側の正五角形が五回対称性を持つので、
五本の対角線を結んだ星形も五回対称。
その一部である内側の五角形も、五回対称です。
72 度づつ回転すると、内側の五角形の
辺どうしが重なるということですから、
五等辺、すなわち正五角形と解ります。

この回答へのお礼

alice_44さん

　ご回答いただき、ありがとうございました。

　五回対称性ですか、・・・、私はあまりに基本ができていない、情けないかぎりです。

　どうも、このあたり（対称性など）の理解をあやふやで済ましています。
　もう少し調べようと思います。
　　　
　お時間いただきありがとうございました。

お礼日時：2010/03/09 21:11

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/09 22:37

因みに、回転対称と線対称は全く異なる

概念ですから、混同しないほうがよいです。

この回答へのお礼

　alice_44さん

　ご丁寧にありがとうございました。
　了解しました。

　

お礼日時：2010/03/09 22:44

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/09 21:34

>この「対称性により」という「対称性」とは、何を以て

>　そのような使い方をしているのでしょうか？
>　（例えば、「～に関する点対称」とか・・・）

「回転対称性」ですね。正5角形場合、中心の回りに360度回転する間に5回図形が重なって一致します（360°/5=72°回転する毎に重なって一致します）。これを「5回回転対称」とか「5回転対称」と言います。

（高校入試など中学数学の範囲で）言葉を習っていなければ、5角形の頂点と中心を結ぶ対称軸が等角度（72°）間隔毎に5本あり、それぞれの対称軸に対して正5角形が線対称と言い換えても良いでしょう。
http://www.pref.niigata.lg.jp/HTML_Article/18030 …
http://www.urayasu.tokai.ed.jp/kyouiku-tokushoku …

多少ずるい表現かも（あやふやな表現かも）知れませんが、これを単に「対称性から」と表現しているのでしょう。

参考)
http://www5d.biglobe.ne.jp/~MY55029/sub2003.htm

この回答へのお礼

　info22_さま

　ご回答いただきありがとうございました。
　
　この対称性というものをしっかり理解せ
ず今まできたものですから、解答で書く場
面があっても、自分でよくわかっていない
のですから、自信をもって書けるわけがあ
りません。情けない。

　貴重なお時間をいただきありがとうございました。
　

お礼日時：2010/03/09 22:41