正四面体を切断する問題

正４面体を、底面に平行な（n -1）枚の平面で高さをn 等分するように切る。残りの面に関しても同様に切ると正４面体は幾つの部分に分かれるか、個数を求めよ。

という問題がわかりまん。だれかご教授お願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/09/19 01:17

こんばんわ。

この面に平行に切って n等分、次の面に平行に切って・・・と切る過程を考えていくよりも、
「切った後」の状態を考えてみた方がいいと思います。

辺の長さが等しい正四面体を同じ n等分に切っているので、
切られた図形は「小さな正四面体」になっているはずです。

n＝ 2や 3あたりで切った様子を描いてみるといいでしょう。
そうすれば、「各段」での正四面体の個数に規則性が見出せるはずです。
規則性がわかれば、あとは n段について足し合わせるだけになります。

No.2 回答者： okormazd 回答日時： 2011/09/19 02:20

展開図で考えればいいのではないか。

正4面体の展開図は、大きい正3角形の中に逆向きの正3角形が入っている。

底面に平行な（n -1）枚の平面で高さをn 等分する　→　小さい三角形の辺をn等分する　=　大きい三角形の辺を2n等分する

で、小さい3角形がたくさんできる　→　3角形4個で小さい正4面体ができる　→　3角形の数/4　が部分の数

ということでしょう。

3角形の数を数える　→　始めの3角形の頂点から各段に、1,3,5,・・・・,2(n-1)個の三角形ができて、その和が3角形の数です。これは知られているように、n^2になる。

ちがうかな、自分で確かめてみてください。

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2011/09/19 02:40

#2です。

ちょっと違っていました。訂正してください。

3角形の数を数える　→　始めの3角形の頂点から各段に、1,3,5,・・・・,2(n-1)個の三角形ができて、その和が3角形の数です。これは知られているように、n^2になる。
↓
3角形の数を数える　→　各辺をn等分するなら、2n段の3角形の段ができて、各段に1,3,5,・・・・個の三角形ができて、その和が3角形の数だから、これは知られているように、2n段なら、(2n)^2になる。

だから、部分の数は、4n^2/4=

とかになるのでしょう。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2011/09/19 04:39

切り分けられる物体がすべて同じ大きさの小さい正４面体になることが分かっているのなら、体積を計算すれば簡単でしょう。

小さい正４面体の１辺の長さを１とすれば、元の正４面体の１辺の長さはnです。
よって、小さい正４面体の体積を１とすれば、元の正４面体の体積はn^3です。

従って、小さい正４面体の個数はn^3個となります。

No.5 回答者： okormazd 回答日時： 2011/09/19 23:51

#2,#3です。

ごめんなさい。

回答、完全に間違っていました。明らかに違います。

無視してください。