数列の証明

nC0＋nC2＋nC4＋・・・・nCn(ｎ＝2k)＝２のn-1乗の証明ってどうやってするんでしょうか？

No.5 回答者： debut 回答日時： 2010/03/21 08:20

２項定理から

(1+x)^n=nC0+nC1x+nC2x^2+・・・・+nC(n-1)x^(n-1)+nCnx^n
x=1で、2^n=nC0+nC1+nC2+・・・+nC(n-1)+nCn
x=-1で、0=nC0-nC1+nC2+・・・-nC(n-1)+nCn
辺々たすと　2^n=2(nC0+nC2+・・・+nCn)
両辺を２で割って
2^(n-1)=nC0+nC2+・・・+nCn
。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2010/03/20 22:59

二項定理から、

(n-1)C0＋(n-1)C1＋(n-1)C2＋・・・・＋(n-1)C(n-1)＝2^(n-1)

nが偶数のときは、上記の(n-1)Ckの項数は偶数個あるので、
最初と最後の項を除いて２つずつ足すと、
(n-1)C(k-1)＋(n-1)Ck＝nCk
かつ、(n-1)C0=(n-1)C(n-1)=nC0=nCn=1
であることから、
(n-1)C0＋{(n-1)C1＋(n-1)C2}＋{(n-1)C3＋(n-1)C4}＋・・・・＋(n-1)C(n-1)
＝nC0＋nC2＋nC4＋・・・・＋nCn

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/20 22:52

ああ、k が偶数だけか。

これは失礼。
(x,y) = (1,1) を代入した式と
(x,y) = (-1,1) を代入した式との
平均をとれば、完了。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/20 22:16

二項係数 nＣk の定義は、

恒等式 (x+y)^n = Σ[k=0…n] (nＣk)(x^k)y^(n-k) です。
x = y = 1 を代入すれば、完了。

公式 nＣk = (n !) / { (k !) (n-k) ! } は、
上の式を x で k 回、y で n-k 回 微分すると得られる
定理です。

この回答への補足

この定義はあくまで

nC0＋nC1＋nC2＋・・・nCnの時に適用されるものじゃないんですか？

補足日時：2010/03/20 22:25

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/03/20 22:09

数学的帰納法もしくは

二項定理(1+x)^{n-1}にx=1を代入