2数の積の最小、最大の数を出す問題

2数の積の最小、最大の数を出す問題
次の問題ですが、どのように取りかかって良いのか全く分かりません。
易しくお教えください。
（１）差が１４となる２数の中で積が最小となる２数を求めなさい。
（２）和が１２となる２数の中で積が最大となる２数を求めなさい。
以上のような問題なのですが、考え方と解き方を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/16 16:54

求めるべき数は実数ということで検討しました。

(1)
x-y=14
z=xy　を最小化する
と定式化します。

x-y=14の時、
z=xy=x(x-14)
=(x-7)^2-49
　※xについての2次関数なので、平方完成
　　して最小値を見出します。

右辺第1項は、○^2の形なので、常に0以上。
したがって、zの最小値=49（x=7,y=-7のとき）

「差」なので、x-y=14だけでなくy-x=14も該当
しますが、xとyを入れ替えればよいので、答えは
x=-7,y=7となる。

以上から、２数は7および-7で最小値=-49

(2)
x+y=12
z=xy　を最大化する
と定式化します。

x+y=12の時、
z=xy=x(12-x)
=-(x-6)^2+36
　※xについての2次関数なので、平方完成
　　して最大値を見出します。

右辺第1項は、-○^2の形なので、常に0以下。
したがって、zの最小値=36（x=6,y=6のとき）

以上から、２数はいずれも6で最大値=36

この回答へのお礼

易しく分かりやすく教えてただきまして、ほんとうにありがとうございました。
これで、手がつけられぬことが解決して大変嬉しく思います。
明日からの学校頑張ります。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/16 18:22

No.5 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/05/17 20:59

つうかこれでいいじゃん。

書けば一瞬で出る
(1)小さい数をx-7(xは実数)とすると大きい数はx＋7だからそれらの積は
(x-7)(x＋7)=x^2-49
これはx^2≧0よりx^2-49≧-49でx=0のときx^2-49は最小値-49となって
小さい数大きい数はそれぞれ-7、7

(2)小さい数をy＋6 大きい数を-(y-6)として
これらの積は36-y^2で表されてy=0のとき最大36をとる
よって小さい数大きい数はともに6

この回答へのお礼

解き方の手順が良く理解できました。ほんとうにありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2010/05/30 11:52

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/05/17 00:57

(1) ２数は片方が正、もう片方が負です。

（この場合２数の積は負になりますが、２数が同符号だと積は正になって最小にならないので）
で、２数をXと-Yと置けば（X>0，Y<0）、相加相乗平均の関係より
X×(-Y) = -XY ≧ -(X+Y)^2/4 = -(X-(-Y))^2/4 = -14^2/4 = -49 （等号成立はX=Y=7のとき）
ということで、２数は、7と-7です。


(2) ２数は共に正です。（両方負のときは和も負で１２にならない、片方のみ負なら積は負な
ので最大にならない）
というわけで、相加相乗平均の関係を使って、
XY≦(X+Y)^2/4 = 12^2/4 = 36 （等号成立はX=Y=6とき）

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりましてすみませんでした。解き方の手順が良く分かりました。大変助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/30 11:49

No.2 回答者： gatch_ky 回答日時： 2010/05/16 16:47

(1)だけやる。

x>yのとき
x-y=14
xyを最小化

y=x-14をxyに代入
xy=x(x-14)
x(x-14)を最小にするxはx=7
このときy=-7

この回答へのお礼

ありがとうございます。考え方に手がつけられない状態でしたので、これで一歩前進ができます。明日からの学校がんばれます。ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/16 18:24

No.1 回答者： himajin100000 回答日時： 2010/05/16 16:42

(1)小さい方の数をxと書くとすると、大きい方はx + 14となる。

この積をyとする、つまり
y = x(x + 14)
このグラフを書くと、
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+x%28x …
のPlotsのようになる。yは二次関数の軸で最小となりx = -7のときである。((0 + (-14)) /2 = -7)
x + 14 = -7 + 14 = 7

よって2数は-7と7である。

(2)和が12であるような2数はx,12-xで書ける。
この積をyとする、つまり
y = x(12-x)
このグラフを書くと
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+x%281 …

(1)と同様、yは二次関数の軸で最大となりx = 6のときである。((0 + 12) /2 = 6)
そしてもう一つの数も6である。

よって2数は6と6である。

この回答へのお礼

最初どのように手をつけて良いのか、まったく分かりませんでしたが、これでやっと理解できました。ほんとうにありがとうございました。

お礼日時：2010/05/30 11:54