電場、磁場の解の仮定。

電場、磁場の解の仮定。

マクスウェル方程式で電場の解をE∝exp i(ωt-kr)あるいはexp i(kr-ωt)と仮定する場合がありますが、マクスウェル方程式から色々な式を導く際に、両方では式が異なってしまい
困る事があります。
どちらかに、統一して式を導きたい気持ちはあるのですが、
まず根本的に上記の比例解は時と場合によって変えて使ってよいものなのでしょうか？

例えば、E, H ∝exp i(ωt-kr)の場合、マクスウェルの方程式から
∇×E = iωμH , ∇×H = -iωεE + I , ( I = σE )
しかし、E, H ∝ exp i(kr-ωt)の場合
∇×E = -iωμH , ∇×H = iωεE + I です。

これだと、様々な式でプラスとマイナスの違いが出てきてしまい
同じ式が導きだせません。

どなたか、詳しい方がいらっしゃたら、参考になる本あるいはサイトの紹介か、
ご教授お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/06/06 12:27

時と場合によって変えてはいけません。

一貫して同じ形を使います。

電流がない場合、まだ計算していない∇×を実行すれば一致します。
平面波の場合、∇×はk×になり、かつ、電磁波ではkとEは直交するので

exp i(ωt-kr)の場合

∇×E = iωμH　→　-ikE = iωμH
∇×H = -iωεE →　-ikH = -iωεE

exp i(kr-ωt)の場合

∇×E = iωμH　→　ikE = -iωμH
∇×H = -iωεE →　ikH = iωεE

で一致します。

電流がある場合はσは吸収と関係し、常にrが増加する方向で減衰するようにすることになるので、符合が変わります。

吸収係数をαとすると、平面波の式は

exp i(kr-ωt)×exp(-αr)＝exp i([k+iα]r-ωt)

または、

exp i(ωt-kr)×exp(-αr)＝exp i([k-iα]r-ωt)

となるので、複素波数の虚数部の符号を変えなければ正しくなりません。

No.4 回答者： post_iso 回答日時： 2010/06/06 20:51

両方とも解としては正解です。

マクスウェル方程式は線型方程式であるため、重ね合わせの原理が適用されます。
したがって、関数φ_{n}がマクスウェル方程式を満たすとき

Φ=Σ_{n}(A_{n}φ_{n})

が一般解となります。




例えば、解として

φ_{1}=e^{i(kx-ωt)}
φ_{-1}=e^{-i(kx-ωt)}

が両方ともマクスウェル方程式を満たす場合、その和

Φ=φ_{1}+φ_{-1}=2cos(kx-ωt)

も解の１つということです。

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/06/06 12:36

訂正です

＞または、
＞exp i(ωt-kr)×exp(-αr)＝exp i([k-iα]r-ωt)

は

exp i(ωt-kr)×exp(-αr)＝exp i(ωt-[k-iα]r)

の誤りです。コピーを修正するの忘れました。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/06 12:01

＞＞＞これだと、様々な式でプラスとマイナスの違いが出てきてしまい同じ式が導きだせません。

当然です。

簡単な例を挙げてみましょうか。
上方向をプラスとするとき、重力加速度は－９．８なので、
ｖ　＝　ｖo　－　９．８ｔ
ｈ　＝　ｈo　＋　ｖoｔ　－　９．８ｔ^2／２
下方向をプラスとするとき、重力加速度は９．８なので
ｖ　＝　ｖo　＋　９．８ｔ
ｈ　＝　ｈo　＋　ｖoｔ　＋　９．８ｔ^2／２
です。
両者で、ｈやｈo、ｖ、ｖoの符号は逆になります。

exp i(ωt-kr)　にしても　exp i(kr-ωt)　にしてもよいので、
一方を採用することに決心したら、その後は一貫しないといけません。