2次行列Ａにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持

2次行列Ａにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持つならば、その関数はｄｅｔに一致することを証明せよ　　　　これは線形代数の行列式の問題です。
回答よろしくお願いします。

No.4 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/06/09 13:49

「線形性」じゃなくて「多重線形性」では？

Aを列ベクトルの組で表して、その関数による値を、多重線形性、交代性、正規性（これは単位行列だと1という意味？）の順でバラしていけば何にも考えずにできます。

何故2次なんでしょう？一般のd次でも同じです。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/06/09 13:46

自己校訂。

　f(A) = f([ae1+ce2, be1+de2])
　 = f(a[e1, be1+de2] + c[e2, be1+de2]) = f(a[e1, de2] + c[e2, be1])
　 = f(a[e1, de2] - c[be1, e2])
　 = ad - bc

けっこう、粗忽。
　　　　　　

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/06/09 12:31

>2次行列Ａにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持つならば、その関数はｄｅｔに一致することを証明せよ .....

回答不能な堂々巡りの問いなのでは…？

とりあえず、関数 f(A) で写された「ある値」を。

2次正方行列 A を列 [v, w] で表示。v = [a, c]~, w = [b, d]~ ( ~ は行列転置)。
2次正方単位行列 I を列 [e1, e2] で表示。e1 = [1, 0]~, e2 = [0, 1]~ とする。
関数 f(A) = のプロパティ。
・(多重)線形性： f([pv1 + qv2], w] = p*f([v1, w]) + q*f[(v2, w)]
・交代性： f([w, v]) = -f([v, w]) ⇒ f([v, v]) = 0
・規格化条件： f([e1, e2]) = 1 ⇒ f([e2, e1]) = -1

　A = [v, w] = [ae1+ce2, be1+de2]
だから、
　f(A) = f([ae1+ce2, be1+de2])
　 = f(a[e1, be1+de2] + c*[e2, be1+de2]) = f(a[e1, de2] + c*[e2, be1])
　 = f(a[e1, de2] - c*[be1,e1])
　 = ad - bc

端折ったところは推理して。ついでに校訂も…。
　　　　　

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/09 11:23

「線形性」「交代性」「正規性」を行列の成分で書いてください.