有効数字増えてませんか？

有効数字増えてませんか？

「log2.0=0.30 log3.0=0.48
とするとき0.50mol/Lの水酸化ナトリウム水溶液のpHを求めよ]
という問題で
計算するとpH=13.7となり、答えもそうなっていたのですが、有効数字二桁で問われているのに三桁で答えていいんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/30 05:59

こんにちは。

１３．７という数は、Ｈ＋やＯＨ－の個数や濃度ではなく、個数や濃度を表す数の「桁数」を表します。

たとえば、
￥10と￥10,000は、３桁違いますよね。
桁を１つ足して４桁にすると、￥10と￥11　の差ではなく、￥10と￥100,000　の差になります。
これでイメージはわかると思いますが、以下、本件に関して説明します。

［Ｈ+］［ＯＨ-］　＝　１０^(-14)
［Ｈ+］　＝　１０^(-14)／［ＯＨ-］
ここで、－１４という数字と１０という数字は正しい、あるいは、精度が極めて高いと考えます。
定義ですからね。

ｐＨ　＝　－log［Ｈ+］　＝　－log（１０^(-14.000…)／［ＯＨ-］）
　＝　－log（１０^(-14.000…)）　＋　log［ＯＨ-］
　＝　１４．０００・・・×log１０　＋　log［ＯＨ-］
　＝　１４．０００・・・　＋　log［ＯＨ-］
　＝　１４．０００・・・　＋　log０．５０
　＝　１４．０００・・・　＋　log１．０００・・・／２．０
　＝　１４．０００・・・　－　log２．０
　＝　１４．０００・・・　－　０．３０
　＝　１３．７０

つまり、
１０という数字、１４という数字が極めて精度が高いという前提のもとでは、
log２の値が小数第２位まで与えられているのであれば、
有効数字は小数第２位まで、すなわち、３桁であるどころか、４桁にするのが正しいです。

No.3 回答者： c80s3xxx 回答日時： 2010/06/30 09:29

pKw が 14.00 としていいのかとか，そういう問題はちょっと横に置いて，対数の扱いだけ考えましょう．

3.3×10^5 と 3.3×10^15 という数字を考えます．どちらも有効数字2桁．問題ないですね．
対数を取ります．とりあえず，常用対数．すると，
log(3.3×10^5) = 5 + log3.2
log(3.3×10^15) = 15 + log3.2
log3.2 のところは同じ(計算すれば0.5185...)ですが，1の位以上は10の何乗という部分で決まっており，有効数字とは別の扱いになることがわかるはずです．有効桁数の議論は，対数を取ったあとは小数点以下の桁数を何桁まで取るかという話に変わるのです．
ところで，これを2桁取ればいいのかというと，ことはそれほど単純ではありません．なぜならば，対数は非線形な関数だからです．誤差の伝播を確認しておく必要があります．
3.2 という数値には，2の部分で±1の読み取り誤差があるかもしれない，といっています．ということは，ほんとうは3.1かもしれないし，3.3かもしれなかった，ということです．そういう意味で，最後の2に不確かさがある，としています．
そこで，3.2，3.3，3.4 の対数を取ってみます．

log3.2=0.50514997831990597606869447362247
log3.3=0.51851393987788747804522787449814
log3.4=0.53147891704225512375390878905283

こうみると，3.3 の対数値としては，0.52とするべきで，この2のところに±2弱の不確かさがある，ということがわかるわけです．
したがって，有効数字2桁であれば，log(3.3×10^5) は 5.52，log(3.2×10^15) は 15.52 ということになります．

最初の問題で，log2，log3を小数点以下2桁まで与えているのは，だから妥当だといえるでしょう．

No.2 回答者： swisszh 回答日時： 2010/06/30 06:05

１）あなたの質問の有効数字ですが、pH は　知っているように、0 くらいから　14 くらい　まで　あるでしょう。

ですから、　pH 10 以上　のアルカリは、そのもの自体、有効数字　１つとかんがえれが、この数字は　log から　きているので、重さ、体積、分子量のような、１０進法の数字ではないからです。
２）逆に　塩酸　0.50mol/L の場合、pH = -log (0.50) = 0.30 で、　　
３）　塩酸　0.010mol/L , pH = -log (0.010) = 2.0 で　アルカリの場合（１０以上）注意したら。
４）　NaOH 0.50 mol/L, pOH= -log(0.50) = 0.30 で　pH=14.0 - 0.30 = 13.7 となる。
５）　あなたの言う　pH=13 が　正しいならば、pOH=1.0 となり、　NaOH の濃度が　0.10 mol/L となり
問題の　0.50mol/L には　なりません。
６）　pOH なら　問題はないでしょう。（アルカリの場合）