ε-δ論法で、「収束しない」を証明することについて

ε-δ論法で、「収束しない」を証明することについて

「収束する」ことを証明するのは、ε-δの条件に当てはまるようなあるδ＞0が存在することを証明する、ってことだったんですが
（ここまでで間違ってたらすみません）

「収束しない」を証明するには「収束する」を否定するのだから

例えば、x→aのときf(x)がＡに収束しないを示すのは

∃ε＞０、∀δ＞０、０＜｜x－a｜＜δ,∃ｘ⇒｜f(x)－Ａ｜＜ε

を満たせばよい、というのは分かるのですが、結局これは何を示せばよいのですか・・・？
εが存在することですか？ｘが存在することですか？

それとも何か別の・・・？

No.4 ベストアンサー 回答者： jmh 回答日時： 2010/07/18 16:28

>> 例えば、ｘ^２が、ｘ→０のとき「→１でない」ことを証明したいの？

> はい。そんな感じです。

それは単に「収束しない」ではなくて「Ａには収束しない（他の値には収束するかもしれない）」を証明するってことですから、あるε＞０が存在して、δ＞０をどんなに小さくしても、ｆ（ｘ）がＡのε-近傍に属さないようなｘがａのδ-近傍から発見できるということだと思います。そのようなεが存在すればよいと思います。

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2010/07/07 21:27

例えば、ｘ^２が、ｘ→０のとき「→１でない」ことを証明したいの？

この回答への補足

はい。そんな感じです。

補足日時：2010/07/10 23:27

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/07 02:15

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-A|<ε.

の否定は、
∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, 0<|x-a|<δ ∧ |f(x)-A|≧ε.
じゃんねえ。

not (P ⇒ Q)　≡　P ∧ not Q

No.1 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/07/06 20:32

｜f(x)－Ａ｜＜ε　でなく｜f(x)－Ａ｜≧εだよ。

　「結局これは何を示せばよいのですか・・・？」
じゃなくてさ、収束しない定義式自体いえないとダメ。
もちろんεの存在性、xの存在性は言えないとダメ。