aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x

aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値・最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に（別々に）書け。

解答
ｙ＝f(x)のグラフは下に凸であるから、a<=x<=a+2におけるf(x)の最大値は区間の端点で取る。よって。
M(a)=max{f(a),f(a+2)}である。次に、最小値を求める。
頂点のｘ座標が区間a<=x<=a+2内にあるとき
すなわち-1<=a<=1のとき、m(a)=f(1)=2
それ以外のとき、m(a)=min{f(a),f(a+2)}
・・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・
つまり最大値の場合は軸が区間の中央より左、中央、中央より右になるようなaの範囲に場合分けして、
書かないといけないのでは？？？

No.2 ベストアンサー 回答者： mercha120 回答日時： 2010/08/14 20:47

解説が言ってることは間違っていないと思います。

この解答の解き方は「予選決勝法」と呼ばれるものです。
（「S台予備校」や「大学への数学」的に言うと 笑）


1.まず、極値の候補となるaの式を求めます。ここでは端点
f(a) = a^2 - 2a + 3
f(a+2) = a^2 + 2a + 3
f(1) = 2 (-1 <= a <= 1)
ぐらいですかね。

2.求まった式を図示します。
y = a^2 - 2a + 3
y = a^2 + 2a + 3
y = 2 (-1 <= a <= 1)
を横軸aにして、グラフにしてください。

3.この時点で、グラフが一番上をいっているのがM(a)、一番下をいっているのがm(a)になります。
つまりmaxのほうが、
a < 0 のとき 　M(a) = a^2 - 2a + 3
a >= 0 のとき M(a) = a^2 + 2a + 3
またminのほうが、
a < -1 のとき m(a) = a^2 + 2a + 3
-1 <= a <= 1 のとき m(a) = 2
a >= 1 のとき m(a) = a^2 - 2a + 3
となります。

いかがでしょうか？ （簡単でしょう）

まあそれにしても、ちょっとその元の
「最大値はM(a)=max{f(a),f(a+2)}である」
だけの説明だけでは足りないかなと思いますが（これはテストで減点されると思います）

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/14 18:28

こんばんわ。

＞M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。
＞どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・
その通りです！
その考え方で合ってますよ。

質問で書かれている「解答」は、「解答」というよりも「解説」に近い内容だと思います。
実際には指摘されているように、場合分けして M(a)、m(a)をそれぞれ求めていくとすることになりますね。