直角三角形の一つの鋭角の大きさが分かると三辺の比が分かるのは何故ですか

直角三角形の一つの鋭角の大きさが分かると三辺の比が分かるのは何故ですか？

「直角三角形の一つの鋭角の大きさが分かると三辺の比が分かる」というようなのを、チラッと見たことがあります。
一つの鋭角の大きさが分かれば、もう一つの鋭角の大きさは「三角形の内角の和は１８０度」から分かる。ということまで分かります。

それぞれの角の大きさが分かっているのだから、三辺の比なら分かるとは思います。
ただ、どうやって三辺の比を求めるのかが分かりません。

今、中３です。数学では二次関数の途中まで習っていて三平方の定理や相似は習ってません。
このようなボクにも分かるように求め方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： houjutucho 回答日時： 2010/10/27 17:35

簡単に言いますが、この場合各辺の比を

求めるのに使うのは
高校［数I］で習う、三角比（三角関数：ｓｉｎ・ｃｏｓ・ｔａｎ）です。
詳しくは、以下ＵＲＬを参照して下さい。
三角関数 by Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/27 18:04

＞それぞれの角の大きさが分かっているのだから、三辺の比なら分かるとは思います。

＞ただ、どうやって三辺の比を求めるのかが分かりません。

　直角三角形の１つの鋭角から３辺の比を求めるとき　≪三角比≫というものを使います。
　これは高校の数学Iで習う内容で　分かっている鋭角の大きさをx°としますと　３辺のうちの２つの辺の比をそれぞれ　sin(x),cos(x),tan(x) などによって表すものです。
　（詳しくは下記ＵＲＬの囲み「●三角比●」を見てください。）
　　　http://naop.jp/kyouzai/yosyu/1nen/17.html

　三角関数の値は　関数電卓やエクセルなどの表計算ソフトが使えれば　それらから求めると精度の良い値が求められます。
　また、これらが使えない場合は、＜三角関数表＞と呼ばれるものを使って表から数値を探し出します。
　（計算機が発達していなかった時代は　この＜三角関数表＞を使って求めていました。）
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%B …


＞今、中３です。数学では二次関数の途中まで習っていて三平方の定理や相似は習ってません。

　≪相似≫を理解していないと、≪三角比≫の考え方を理解するのは少し難しいかもしれません。
　そのときは次のように捉えると良いと思います。

　　「直角三角形の１つの鋭角が分かれば３辺の比が知ることができ、そのときに使うのが三角比だ」

　私も中学三年当時に初めて≪三角比≫に興味を持ったときは　このように理解しました。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/27 18:39

質問文から察すると、

習っていなくても、相似の考え方は理解している
ようですね。その通り。
直角三角形の鋭角が決まると、
各辺の比が決まります。
このようにアレが決まるとコレが決まる
という関係を「関数」と呼ぶことは、
習ったと思います。

直角三角形の鋭角を辺の比に対応させる関数を、
高校では、名前を付けて「三角関数」と呼びます。
とはいえ、高校の範囲では、三角形関数の値は
いくつかの有名な角度についてしか
求めることができません。

勝手な角度に対して三角関数の値を計算する
ためには、大学の解析学を勉強しないと。
先は長いですよ。楽しみですね。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2010/10/28 07:46

＞それぞれの角の大きさが分かっているのだから、三辺の比なら分かるとは思います。

＞ただ、どうやって三辺の比を求めるのかが分かりません。

この文章の意味がよく分かりません。
特に「三辺の比なら分かる」、「どうやって三辺の比を求めるのかがわからない」の部分です。
「相似形を習っていない」ということですから「比が決まる」ということが分からないのでしょうか。
（この時期にまだ「相似」をやっていないということは、中学校では幾何はやらないということでしょうか。）

図を書いて考えるのが一番いいです。
グラフ用紙、物差し、分度器を用意して下さい。
直角三角形とします。
縦にＡＢ、横にＢＣ、∠Ｂ＝９０°とします。
ＡＢ＝１０ｃｍとしてＢＣを書きます。目盛を使えばＣの位置を１ｃｍ刻みで変えていくことができます。ＡＣを結ぶと角度の違ったたくさんの直角三角形を書くことができます。分度器で∠Ａを測ります。
ＡＢ＝１０ｃｍとした時のＢＣ、∠Ａの表ができます。
仮にＡＢ＝２０ｃｍとした時を考えます。ＢＣの長さが２倍の所で∠Ａは同じになるはずです。
三角形が大きくても小さくても、角度が同じであれば辺の比が同じになります。（これが相似形という事です。）
角度Ａに対して比ｔ＝ＡＢ／ＡＣの値を表にして下さい。
ｔ＝１の時に∠Ａ＝４５°になっているはずです。
（この比は高校の数学の教科書を見るとｔａｎ(Ａ)という記号で表されています。）
斜辺ＡＣの長さは物差しで測れば求めることができます。
ＡＢ／ＡＣ，ＢＣ／ＡＣを計算する事もできます。
（斜辺の長さを計算で出すときには「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2　を使います。でも物差しで測っても同じ事です。）