磁気回路について

基本的な質問ですみません。
無限長ソレノイドによる磁界の強さについて質問します。
N:コイルの巻数　I:電流
L:コイルの長さ　a:コイルの半径とした場合の
コイル中心部での磁界の強さHは、
H=NI/sqr(L^2+4a^2)
で表され、L>>aの場合、aを無視できれば、
H=NI/Lとなりますよね？
一方、機械の本などの変圧器の欄では、
変圧器内部の磁気回路として同じく、
H=NI/Lとありますが、Lが平均磁路長とあります。
両者には、強磁性体の有無の差はありますが、なぜ、Lの長さがコイルの長さではなく、磁気回路そのものの平均磁路長として扱えるのかが判りません。
どなたか教えていただけませんでしょうか？
宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： LCR707 回答日時： 2003/08/19 21:57

　＃３です。

　H=NI/L の式を変形して HL=NI にしたら、コイル長さを表していたはずの L が、変圧器の本ではいきなり平均磁路長の L に変わってしまっているのはなぜか。という意味のご質問ですね。

H = NI/L …(1)
の N/L を単位長さ当りの巻き数 n で置きかえると、
H = nI …(2)
になりますが、これは wan_wan さんが＃４補足の中で、ビオ・サバールの法則から計算されたように、無限長ソレノイドにおける磁界を表しています。ただ、無限長ソレノイドでは磁路長の説明に困るので、ここでは電磁気の教科書でよく出てくる無端ソレノイド（ドーナツ型をしたトロイダルコイル）とします。もちろん無端ソレノイドでも、式(2)は成立します。また、コイルが一様に巻かれていれば、空芯でも鉄心入りでも違いはありません。

　今、H=nI の両辺を、磁界に沿って周回積分すると、
∫Hds = ∫nIds …(3)
になります。一周する間 H が一定であるとすると、左辺は HL になります。この L はもちろん磁路長です。
　一方、右辺は起磁力を経路に沿って積分する式です。そしてこの起磁力は、一周する間必ずしも一様に分布している必要はありません。ある部分に局在していても式が成り立ちます。さすがに空芯コイルでは H を一様に保つのが難しいので、普通は鉄心入りコイルでの話になりますが、コイルは一箇所に集中していても良い訳です。そしてそのコイル長さを Lc とすると、(3)式の右辺は nILc となり、コイル総巻き数を N とすれば nLc=N より右辺は NI なので、式(3)は
HL = NI …(4)
になります。これはあたかも式(1)の L を移項しただけのように見えますが、実際は積分したことによって L の意味が変化しているわけです。

　式(2)のあたりでは、空芯でも鉄心入りでも良かったのに、式(3)から(4)あたりになると鉄心入りコイルに限定したりして、少々怪しげな説明ではありますが、要は、積分したことによって、起磁力の分布の一様性にしばられなくなった式が、(4)であると言えます。

この回答へのお礼

やっと、解りました。
よくよく、考えれば問題にすること自体が電磁気学の基礎を理解していないことでした。(^^;)
右の項は磁界内の任意の閉回路の積分式だと指摘されハッとしました。
別に、閉回路を鉄心の平均磁路長にする必要はなく、任意(鉄心をはみ出してでもよい)の閉回路でも積分さえできればよいということでしたね。
ただ、式に乗せるには、平均磁路長を閉回路とした方が(しなければ、連続した式に載せられないとも言える）NIと計算が合うということですね。
右項のLをコイルの長さと決め付け、誤差を無視して無限長ソレノイドの式を有限長ソレノイドに当てはめることができると強引に処理するには、ソレノイドの端点で磁界が途切れなければ、NI=HLの式が成り立ちませんね？(そうしなければ、積分値がNIと合致しない。)
またこれは、鉄心から、一切磁束がもれず、鉄心以外には磁界が存在しないと見なした場合の話ですね。
磁界の強さHは、磁性体の影響は受けないが、磁界は、磁性体の影響を受ける。(磁気シールド(これも漏れますが？)にも関係してくる)っていうことでした。
ちょっと考えればすぐ解ることでも、ツボにはまるとなかなか抜け出せない典型的な例であったと思い反省してます。
ますます、自己研鑚に励む所存ですので、今後ともご指導のほど宜しくお願いいたします。
電気理論は、基礎の基礎を疎かにすると、全く応用が利かなくなることを痛感しました。
本当にありがとうございました。

追伸。
1質問当りの持ち点が、20と10しかないので、2質問で、総合的に点数を割り振りましたことをお詫びいたします。
また、再度、指導してやろうとお考えの方もいらっしゃるかと存じますが、一方的ではありますが、一旦質問を締め切らさせていただきます。
またの、ご指導のほど宜しくお願いいたします。
ご指導頂いた方々各々に文面にてのお礼を失礼ながら省略したことをお詫びいたします。
さらに、パスワードを忘れアクセスできずにいたので、お礼が送れ申し訳ありませんでした。

お礼日時：2003/08/23 17:16

No.4 回答者： fitto 回答日時： 2003/08/17 13:56

＃１です。

　とんでもない間違いをしていました。
訂正します。

Ｌは、コイルの長さでなく　磁路長ですね。
無限長ソレノイドというのは直線のものを言います。
ソレノイド
━━━━━━━━━━
直線ですから、端から端までの距離はどこを測っても同じ寸法です。
ですから、平均磁路長という言葉がありません。

一方、変圧器ですが、無限ソレノイドのように、磁気回路が直線で構成されることはまずありません。
普通は閉ループの磁気回路になります。
┏━━━━━━━━━┓
┃　　　　　　　　　　　　　┃
┗━━━━━━━━━┛
図で、閉ループの磁気回路を考えたとき、鉄芯内側の磁気回路と、外側の磁気回路は当然長さが違います。
従って、平均磁路長で計算します。

この回答への補足

詳細な回答を頂き誠にありがとうございます。
ただ、私の質問方法が根本的に間違っておりました。
補足では、なく再度質問をやり直します。
お手数をかけさせた上、厚かましい事をいうようですが、
改めてご指導いただければ幸いです。
独学で電気理論を勉強している者なので、意外と基本的な部分でつまづき
四苦八苦しております。助けてください。

(失礼とは存知ながら、文体を問きり型にて書かさせていただきます）
ビオ・サバールの法則によると、dH=Idlsinθ/4πr^2で表されます。
即ち、IとHの間には透磁率は関係がないように思えます。
次に円形電流による磁界について考えると、円形電流の中心(O)の中心軸上の点Pにおける磁界の強さHpは、
円形電流に沿って周回積分を行うと、
Hp=a^2I/2(a^2+d^2)^(3/2)[A/m]となるとおもいます。
円形電流の半径：a　円形電流の中心から中心軸上の点Ｐまでの距離：d　円形電流の電流値：I
同様に有限長ソレノイドの中心軸上の点Pにおける磁界の強さdHは、
dH=a^2Indx/2(a^2+x^2)^(3/2)となると思います。
有限ソレノイドの半径：a　dxとおいた有限ソレノイドの部分の中心軸から点Pまでの距離：x
ここで、有限ソレノイドの長さをL、ソレノイドの総巻数をNとすると、
n=N/Lであらわされ、dH=a^2INdx/2L(a^2+x^2)^(3/2)となり、これを有限ソレノイドの長さ分積分すれば、点Pにおける電界の強さHpが求まると思います。
その結果は、Hp=NI/2L(cosφ1-cosφ2)となるのではないでしょうか？
φ1：有限ソレノイドの中心軸とソレノイドのコイル端(角度の大きいほう)
φ2：有限ソレノイドの中心軸とソレノイドのコイル端(角度の小さいほう)
ここで、点Ｐをソレノイドの外に置いた場合に、点Pが無い方のソレノイドの端点と点Pとの距離をlと置くと、
cosφ1=l-L/((l-L)^2+a^2)^(1/2)
cosφ2=l/(l^2+a^2)^(1/2)
となり、結果、Hp=NI/2L((l-L/((l-L)^2+a^2)^(1/2))-(l/(l^2+a^2)^(1/2)))
となると思います。
点Pを有限ソレノイドの中心に置き、端点に置ける磁界に不均一の影響を受けないと仮定すれば
上式のlをL/2とおけばよくその結果、
Ho=NI/(L^2+4a^2)^(1/2)となると思います。

この式を無限長ソレノイドで考えると、aの値は、Lに比べて無視できるとすれば、
Ho=NI/Lとなると思います。無限長ソレノイドの場合、NもLも無限大なため単位長さあたりについて考えると
Ho=nIとなり、巻数１(n=１)とすれば、アンペールの周回積分の法則にも合致します。
即ち、Ho=NI/LのNとLは、単位長当たりの現象を成り立たせるための係数と考えました。

ここまで、教科書の引用になりましたが、ここで、これらを踏まえて質問します。
話を簡単にするために有限なソレノイドと無限ソレノイドを同等に扱うとします。
すると、Ho=NI/Lの式を変形すると、HoL=NIとなります。(以後HoをHと書きます)
ここで、改めて確認します。Hは、透磁率の影響を受けない磁界の強さを表す。
Nはコイルの総巻数を表す。LはNに対応する値で、コイルの長さを表す。
はずだと思います。

そこで、変圧器の本を見ると、Lがいきなり、磁気回路の平均磁路長で扱われています。
本来、Lは、コイルの長さであって、ソレノイドの端点と点Pの距離を表す距離lと同じに扱うべきではないと思いますが、いかがでしょうか？
というのが、私が聞きたかった質問です。
私の、説明不足から、磁気回路の特性上、磁路の長さを平均で扱わなければならない理由や、コイルを重ねて巻いたときの不均一となること、H自体の値は、磁性体には関係しないことなど肝心な部分を伝えることができず質問に対して誤解を与えたことを心からお詫び申し上げます。
説明が、だらだらと長くなっただけで、疑問に思っていることが伝わったでしょうか？
重ね重ね、文章の説明力のなさを棚に上げて、繰り返し質問することをお詫び申し上げます。
宜しくお願いいたします。

補足日時：2003/08/18 01:06

No.3 回答者： LCR707 回答日時： 2003/08/17 10:38

　鉄心入りソレノイドでは、漏れ磁束が無いと見なせるので、鉄心の平均磁路長がLになります。

　空芯ソレノイドでは、特に両端あたりの漏れ磁束が多く、計算通りにはなりません。しかし、ソレノイドの中央辺りでは漏れ磁束が少ないと見なせるので、その部分について、Ｎ／Ｌ すなわち単位長さ当りの巻き数を使ってＨを計算できます。

No.2 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/08/17 10:06

空芯のソレノイドと鉄心入りのソレノイドでは全く事情が違ってきます。

鉄心入りのトランスでは巻線で作られた磁束はほとんど全部高透磁率の鉄心の中を流れます。空隙にはほとんど存在しません。
従ってトランスでは鉄心の平均磁路長をつかっていいのです。

No.1 回答者： fitto 回答日時： 2003/08/17 04:18

ソレノイドは、１つ１つのコイルの巻線長さが同じと仮定して、設問されます。

変圧器の場合は、中に巻いた巻線と外に巻いた巻線の巻線長が明らかに違います。
従って、平均巻線長を計算してから磁界の強さを計算するようになります。