部分分数についての質問です。「X二乗×（X＋1）分の一」を部分分数分解

部分分数についての質問です。「X二乗×（X＋1）分の一」を部分分数分解して、「ｘ二乗分のa」＋「（X＋1）分のb」としてはいけないとあったのですが、なぜこう置いてはいけないのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/05 12:06

>なぜこう置いてはいけないのでしょうか？

1/{(x^2)(x+1)}=(a/x^2)+b/(x+1)…(1)
これはxについての恒等式でないといけないことは分かりますね。

両辺に(x^2)(x+1)を掛けた
1=a(x+1)+bx^2
これもxについての恒等式でないといけないですね。
しかし、恒等式になりえませんね。
(xの各次の係数条件a=1,a=0,b=1を満たすa,bが決定できないです)

なぜxの恒等式になっていないかといえば、
(1)のように置けないから恒等式にならないのです。

恒等式になるため（左辺と右辺がxのいかんに関わらず成立するため）には

1/{(x^2)(x+1)}=(a/x^2)+(b/x)+c/(x+1)…(2)

という部分分数展開形を使わないといけないですね。
このとき両辺に(x^2)(x+1)を掛けると
1=a(x+1)+bx(x+1)+cx^2
1=a+(a+b)x+(b+c)x^2
恒等式の係数条件
a=1,a+b=0,b+c=0
b=-1,c=1
とa,b,cが決まります。
このa,b,cの組を(2)式に代入すれば部分分数展開が得られます。

No.5 回答者： Willyt 回答日時： 2010/11/10 06:12

＃４の方の回答は３項のうちの二つをまとめたものです。

第一式は二つに分解できます。そしてそれは分子から未知数が消えます。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2010/11/05 21:31

ａ／ｘ^2＋ｂ／(ｘ＋１)では駄目だというのは分かりましたね。

どうすればいいでしょうか。

１項目の分母はｘ^2です。分子にはｘ^2よりも次数の低い式が来ます。
(ａｘ＋ｂ)/ｘ^2＋ｃ／(ｘ＋１)　です。
これで両辺を等しいと置けば出てきます。

３項にするというのではなくて分子には分母よりも次数に低い式が来るというのが判断基準です。
ご質問の場合は分母がｘ^2だったので（ａｘ＋ｂ）／ｘ^2＝ａ／ｘ^2＋ｂ／ｘになったのですが一般的にはそういう風にはなりません。もし分母が（ｘ^2＋１）であれば(ａｘ＋ｂ)/(ｘ^2＋１)はそのままです。３項にはなりません。
1/(ｘ^2＋１)(ｘ＋１)＝１／(２(ｘ＋１))－(ｘ－１)/(２(ｘ^2＋１))

この回答へのお礼

解答頂き、ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/11 17:11

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2010/11/05 11:21

a/X^2 と b/(x+1) とを通分すると分子が a(x+1)+bX^2 となります。

そこでこれが 1 に等しくなるように a,b を決めることになります。そこで、X のべき乗の項を較べて

b=0
a=0
a=1

が成立しなければならないのですが、これは矛盾しますから不可能ですよね。だからそのように分けることができないのです。正解は３項にすることになりますね。さあて、どうしますか？

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/11 17:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/05 10:12

計算すればわかると思います.