ｏを中心とする半径１の球面上にＡ，Ｂ，Ｃの３点が有り、線分ＡＢ，ＢＣ，

ｏを中心とする半径１の球面上にＡ，Ｂ，Ｃの３点が有り、線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの中点を
Ｐ，Ｑ，Ｒとするとき、ＯＰ，ＯＱ，ＯＲのうち少なくとも１つは長さが１／２以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
ＯＰ，ＯＱ，ＯＲの長さがすべて１／２より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルＯＡとベクトルＯＢのなす角は１２０°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルＯＢとベクトルＯＣのなす角も、ベクトルＯＣとベクトルＯＡのなす角も
１２０°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/08 17:41

こんばんわ。

球面上の点とはいえ、お互いに結んでしまえば「ある平面内」での話になりますよね。
その平面が球の中心に対して、どのような位置にあるのかが違うだけです。

と考えれば、上の「ある平面」が「ある特殊な位置にあるとき」を考えれば、
その特殊な位置よりも上でも下でも、できる三角形はそれよりも小さくなるので、
辺の長さも短くなっているはずですね。

「ある特殊な位置」がわかれば、
平面上の円と内接する三角形の問題として扱うことができます。

おまけヒントをつけておくと、
OP＝ OQ＝ OR＝ 1/2となるときは「きれいな三角形」ができているはずです。

この回答へのお礼

すみませんでした。
１／２以下でなく、「１／２以上」でした。

お礼日時：2010/11/09 08:18