No.6ベストアンサー
- 回答日時:
#5さま ご指摘ありがとうございました。
CO:CQ=3:1として計算します。(AB:AP=3:1と直しています)
一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さは、辺ABの中点を点R
頂点Oからの垂線と底面ABCの交点を点Hとすると高さ=√((OR)²ー(RH)²)、OR=3/2*√3
RH=3/2*√3*1/3(Hは底面ABCの重心から)=1/2*√3、よって、高さ=√6
底面ABCから点Qの高さは、点Qからの垂線と底面ABCの交点を点hとすると、ΔCOH∽ΔCQhから
OH:Qh=3:1からQh=1/3*OH=1/3*√6・・・①
Rh=RH+Hh=1/2*√3+3/2*√3*2/3*2/3=√3(1/2+2/3)=7/6*√3
またRP=2-3/2=1/2、よって三平方の定理からPh=√((Rh)²+(RP)²)=√(156)/6=√(39)/3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からPQ=√((Ph)²+(Qh)²)=√(39/9+6/9)=√((45)/9)=√5・・答え
確かに分数になりません。
No.5
- 回答日時:
#4さま
>rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。
すみません。
これは最終的な答え(PQの長さ)に分数が入らない、ということです。
高さQhやRhには分数が入ります。PQの長さだけ分数にはなりません。
No.4
- 回答日時:
rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。
その場合CO:CQ=3:2です。OH:Qhも3:2です。Qh=2/3*OHが分数にならない場合
OH=3になります。
一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さが3は無いでしょう。
No.3
- 回答日時:
#2さんへ。
多分Qの位置を勘違いしています。
OCを2:1に内分する点ですからOQ:CQ=2:1→CO:CQ=3:1です。
あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。
(#1の方式で計算した場合、出てくる1/3は辺の長さの3で全て約分されてしまい√の中は分数になりません。cos60°=1/2も相異なる辺ベクトルの内積の係数に必ず2が入るため約分されこれも残りません。)
よく見ていませんが②の計算が間違っていると思います。
No.2
- 回答日時:
どうしてもベクトルを使わないといけませんか?三平方の定理の方が楽です。
以下のように。一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さは、辺ABの中点を点R
頂点Oからの垂線と底面ABCの交点を点Hとすると高さ=√((OR)²ー(RH)²)、OR=3/2*√3
RH=3/2*√3*1/3(Hは底面ABCの重心から)=1/2*√3、よって、高さ=√6
底面ABCから点Qの高さは、点Qからの垂線と底面ABCの交点を点hとすると、ΔCOH∽ΔCQhから
OH:Qh=3:2からQh=2/3*OH=2/3*√6・・・①
Rh=RH+Hh=1/2*√3+3/2*√3*2/3*1/3=√3(1/2+1/3)=5/6*√3
またRP=2-3/2=1/2、よって三平方の定理からPh=√((Rh)²+(RP)²)=√(84)/6=√3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からPQ=√((Ph)²+(Qh)²)=√(3+24/9)=1/3*√(51)・・答え
どうですか、中学の知識で出来るでしょう。
No.1
- 回答日時:
やり方だけ。
OP→の長さを求めてみましょう。
OP→=(2/3)OA→+(1/3)OB→
の長さを求めるにはその2乗を考えます。
|OP→|^2=OP→・OP→
と長さの2乗はそのベクトル2個の内積に等しい。この内積を計算すればよい。
OP→・OP→={(2/3)OA→+(1/3)OB→}・{(2/3)OA→+(1/3)OB→}=(4/9)OA→・OA→+(4/9)OA→・OB→+(1/9)OB→・OB→
OA→・OA→とOB→・OB→はそれぞれOA,OBの長さの2乗となります。
あとはOA→・OB→の内積ですが、これは正四面体の各面が正三角形であることから∠AOB=60°であることを利用して計算できる。
PQの長さも同様に計算できます。OA→,OB→,OC→とベクトルが3つになるので項数は増えますが計算はまったく同様になります。
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