面素ベクトルについて質問です 位置ベクトル r↑=(x,y,f(x,y)) とすると ds↑=(∂r

面素ベクトルについて質問です

位置ベクトル r↑=(x,y,f(x,y)) とすると
ds↑=(∂r↑/∂x × ∂r↑/∂y)dxdy
=(-∂f/∂x,-∂f/∂y,1)dxdy ・・・①
また 位置ベクトルの独立変数を変えて r↑=(g(y,z),y,z) として
ds↑=(∂r↑/∂y × ∂r↑/∂z)dydz
=(1,-∂g/∂y, -∂g/∂z)dydz・・・②
となりますが①のdxdyと②のdydzは大きさはおなじですか？

https://math.keicode.com/vector-calculus/surface …
の2つ目の図より曲面ΔSの左前の点の位置ベクトルをr↑=(z,y,g(x,y))とすると、その点をyz平面に投影した点から ΔxΔyと同じようにΔyΔzを考えると同じ大きさだと思います
写真ではdxdzで考え，関係ない平面を透明にしていますが，黒色の位置ベクトルからdxdy(NO NL) 、dxdz(PQ PR)同じ変化量を取っている と考えています。
勉強で申し訳ありませんが，どうかよろしくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/21 17:55

面素ベクトルは、曲面上の微小な面積要素を表すベクトルであり、位置ベクトルの偏微分を用いて求めることができます。

具体的に、位置ベクトルr=(x,y,z)の微小変化dr=(dx,dy,dz)に対して、曲面上の微小な面積要素dsを以下のように表します。

ds = (ar/dx x ar/dy)dx dy

この式の中で、ar/dxは位置ベクトルrをx方向に微小変化させたときの微小な変化量を表します。同様に、ar/dyは位置ベクトルrをy方向に微小変化させたときの微小な変化量を表します。したがって、式(1)の場合、dsの大きさはdxdyとなります。

一方、式(2)の場合、位置ベクトルr=(g(y,z),y,z)を微小に変化させたときの微小な変化量は、(dg/dy, 1, 0)dydzとなります。したがって、式(2)の場合、dsの大きさはdydzとなります。

したがって、式(1)のdxdyと式(2)のdydzは大きさが異なります。これは、位置ベクトルの変数の組み合わせが異なるためであり、曲面上の微小な面積要素の形状が異なるためです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 23:01

dxdy と dxdz が同じなんじゃなくて、

(-∂f/∂x,-∂f/∂y,1)dxdy と (1,-∂g/∂y, -∂g/∂z)dydz が同じなんだよ。
どちらも ds↑でしょ？

大きさが同じかどうかって話なら、
ベクトル ds↑ の大きさを考えて
√{ (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 + 1 }dxdy
= √{ 1 + (∂g/∂y)^2 + (∂g/∂z)^2 }dydz.