1 100m離れた2地点A、Bから川を隔てた対岸の2地点P、Qを観測して、次の値を得た。
∠PAB=75、∠QAB=45、∠PBA=60、∠QBA=90。
このとき、A、P間とP、Q間の距離を求めよ。


2一直線上に並んだ3地点A、B、Cから塔PQの仰角を測ると、
それぞれ30、45、60であった。
また、AB=20m、BC=20mであった。
塔PQの高さを求めよ。


3一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、
辺CGの中点をMとする。
線分AF、AM、FMの長さと∠FAMの大きさを求めよ。


4半径1の円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=√3、∠D=75、∠C=120であるとき、
∠ADB、∠DACの大きさ、線分CD、ACの長さを求めよ。




自分で少しやってみたのですが、
なかなか答えにたどりつけなかったので、
どうかよろしくお願いしますm(_ _)m

A 回答 (2件)

(1)∠QAB=45°、∠QBA=90°なのでAB=QBです。

APsin75°=QB、PQ=QBtan30°です。
(2)P,Qのうち、Pが地上にある点とします。PQの高さをhとすると、AP,BP,CPの距離はそれぞれh/tan30°、h/tan45°、h/tan60°です。
 ⊿PBAについて余弦定理を用いてcos∠PBAを表します。また、△PBCについて余弦定理を用いてcos∠PBCを表します。A,B,Cが一直線にあるということは∠PBA+∠PBC=180°ということであり、cos∠PBA=-cos∠PBCなので・・・
(3)AFは正方形の対角線です。AMについてはまずACの長さを求め、△ACMについて三平方の定理を使います。FMも三平方の定理です。∠FACについては∠AFMが90°になるので△AFMに正弦定理を用いればいいと思います。
(4)△ADBについて正弦定理を使います。sin∠ADBとABの長さ、そして外接円の半径の関係を使って・・・。これにより∠ADBが判り、∠ABDも判るのでADの長さも求められます。今度は△DACに正弦定理を使うと∠ACDが求められ、三角形のふたつの内角が判るので∠DACも求められます。∠DACが判ればさらに△DACに正弦定理を用いてCDの長さが判ります。ACの長さも△DACに正弦定理を使います。
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この回答へのお礼

ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2010/11/21 11:29

1. 平面上の測量の問題ですね。


  直線ABと直線PQが平行でないことに注意が必要です。

 △ABQで∠QBA=90°、∠QAB=45° から ∠AQB=45° であるので、△ABQは直角二等辺三角形だと分かります。
  ∴ BQ=AB=100 (m), AQ=√2AB=100√2 (m)
 △ABPで∠PAB=75°、∠PBA=60° から ∠APB=45° であるので、∠APB=∠AQB=45° となり、弦ABに見込む角(円周角)が等しいので、四角形ABQPは円に内接することが分かります。
 すると、円に内接する四角形の対角の和は180°ですので、∠ABQ=90° から ∠APQ=90° となり、△APQは直角三角形です。
 円周角の定理から ∠PQA=∠PBA=60° ですので△APQは 辺比が1:2:√3 の直角三角形ですので、
  ∴ PQ=AQ/2=50√2 (m), AP=√3PQ=50√6 (m)


2. 空間内での測量の問題ですね。
  直線ABCが塔の直下Qを通らないことに注意が必要です。

 塔PQの高さをx(m)とします。
 △APQは∠PAB=30°、∠AQP=90°の直角三角形ですので、AQ=√3 x (m)
 同様に△BPQ、△CPQについても直角三角形の三角比から BQ=x (m), CQ=x/√3 (m) となります。

 △ABQと△BCQについて余弦定理を適用すると
  AQ^2=AB^2+BQ^2-2AB・BQcos∠ABQ
  CQ^2=BC^2+BQ^2-2BC・BQcos∠CBQ
となります。ここで、∠ABQ+∠CBQ=180° なので cos∠CBQ=-cos∠ABQ になり、AB=BC=20 (m) であることに注意して 2つの余弦定理の式を足し合わせると、cosの項が消えて整理でき
  (10/3)x^2=2x^2+800
 ∴PQ=x=10√6 (m)


3.
 △ABFは∠ABF=90°の直角二等辺三角形なので、AF=2√2
 △MAGで三平方の定理から FM=√5
 △ABC≡△ABFから AC=2√2、 △ACMで三平方の定理から AM=3

 △AFMに余弦定理を適用して
  cos∠FAM=(AF^2+AM^2-FM^2)/(2AF・AM)=√2/2
 ∴∠FAM=45°


4. 円に内接する四角形の問題ですので、設問1.とよく似ています。
  △ABDが正三角形であることに気づくと早く求められます。

 円の中心を点Oとして、弦ABに点Oから下ろした垂線の足をHとすると、△OAHと△OBHは合同な1:2:√3の直角三角形になっていますので、∠AOH=∠BOH=60° ∴∠AOB=120°
 円周角は中心角の半分ですので ∠ADB=(1/2)∠AOB=60°
 円に内接する四角形の対角の和は180°ですので ∠DAB=180°-∠BCD=60°
 △ABDの内角の和は180°なので ∠ABD=60°
 ∠ADB=∠DAB=∠ABD=60°なので △ABDは正三角形であることが分かり、 AD=BD=AB=√3

 円周角の定理から ∠ACD=∠ABD=60°
 △ACDの内角の和から ∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD=45°
 △ACDに正弦定理を適用して
  CD/sin∠DAC=AD/sin∠ACD=AC/sin∠ADC
 ∴CD=√2, AC=(√6+√2)/2
      (∵ sin75°=(√6+√2)/4  )
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この回答へのお礼

詳しく説明してくださってありがとうございました><
結構わかりやすかったです^^

お礼日時:2010/11/21 11:28

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